Mathématiques — Première
Géométrie repérée — Maths Première (chapitre 8)
Vecteur normal à une droite, équation cartésienne, projeté orthogonal et équation de cercle en Première spé maths. Méthodes complètes et exercices corrigés.
Par ProfBot
Géométrie repérée
Chapitre 8 — Géométrie · Première, spécialité mathématiques
Le produit scalaire du chapitre précédent donnait des nombres ; on va maintenant lui donner des coordonnées. Le résultat est spectaculaire : une droite se décrit par une seule équation, un cercle aussi, et des questions purement géométriques — « quel est le point le plus proche ? », « ce point est-il sur le cercle ? » — deviennent de simples calculs, exécutables sans figure.
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Vecteur normal à une droite : le vecteur de coordonnées $(a\,;b)$ est normal à la droite d'équation $ax+by+c=0$ ; projection orthogonale d'un point sur une droite ; équation de cercle.
Aucune démonstration n'est exigible. Les capacités attendues portent sur la détermination d'équations, le calcul de projetés orthogonaux, et la reconnaissance d'une équation de cercle.
Dans tout le chapitre, le plan est rapporté à un repère orthonormé.
1. Vecteur normal à une droite
Définition. Un vecteur normal à une droite $d$ est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur directeur de $d$.
Théorème. La droite d'équation cartésienne
$ax + by + c = 0 \qquad \text{(avec } (a,b) \neq (0,0)\text{)}$
admet $\vec n\,(a\,;b)$ pour vecteur normal.
Justification. Soient $A(x_A\,;y_A)$ et $M(x\,;y)$ deux points de $d$. Leurs coordonnées vérifient l'équation, donc en soustrayant les deux égalités : $a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0.$ Or le membre de gauche est exactement le produit scalaire $\vec n \cdot \overrightarrow{AM}$ en base orthonormée. Il est nul pour tout point $M$ de $d$ : le vecteur $\vec n$ est donc orthogonal à tout vecteur $\overrightarrow{AM}$ porté par la droite. $\blacksquare$
Le réflexe à installer. Dans $ax+by+c=0$, les coefficients de $x$ et $y$ sont les coordonnées d'un vecteur normal ; un vecteur directeur est alors $\vec u\,(-b\,;a)$, obtenu en échangeant les deux coordonnées et en changeant un signe. Pour la droite $3x - 2y + 5 = 0$ : $\vec n\,(3\,;-2)$ et $\vec u\,(2\,;3)$, sans le moindre calcul.
Déterminer l'équation d'une droite connaissant un point et un vecteur normal. Si $d$ passe par $A(x_A\,;y_A)$ et admet $\vec n\,(a\,;b)$ pour vecteur normal, alors $M(x\,;y) \in d \iff \vec n \cdot \overrightarrow{AM} = 0 \iff a(x-x_A) + b(y-y_A) = 0.$ Il ne reste qu'à développer.
Positions relatives. Deux droites de vecteurs normaux $\vec n$ et $\vec n'$ sont :
- parallèles si $\vec n$ et $\vec n'$ sont colinéaires ;
- perpendiculaires si $\vec n \cdot \vec n' = 0$.
2. Projeté orthogonal d'un point sur une droite
Définition. Le projeté orthogonal de $M$ sur la droite $d$ est le point $H$ de $d$ tel que $\overrightarrow{MH}$ soit orthogonal à $d$. C'est le point de $d$ le plus proche de $M$, et la distance $MH$ s'appelle la distance de $M$ à $d$.
Méthode. Le point $H$ est caractérisé par deux conditions :
- $H \in d$ : ses coordonnées vérifient l'équation de $d$ ;
- $\overrightarrow{MH}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec n$, c'est-à-dire $\overrightarrow{MH} = t\,\vec n$ pour un réel $t$.
En pratique : on écrit $H = M + t\,\vec n$ en coordonnées, on injecte dans l'équation de $d$, on résout en $t$, puis on remplace.
Pourquoi $\overrightarrow{MH}$ est-il colinéaire à $\vec n$ ? Parce que $\overrightarrow{MH}$ est orthogonal à la droite, tout comme $\vec n$. Dans le plan, deux vecteurs orthogonaux à une même direction sont nécessairement colinéaires — c'est faux dans l'espace, où ils engendrent tout un plan.
3. Équation d'un cercle
Théorème. Le cercle de centre $\Omega(a\,;b)$ et de rayon $R > 0$ a pour équation
$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2.$
Justification. Un point $M(x\,;y)$ appartient au cercle si et seulement si $\Omega M = R$, c'est-à-dire $\Omega M^2 = R^2$ (les deux étant positifs). Or, en repère orthonormé, $\Omega M^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2. \qquad \blacksquare$
Reconnaître un cercle sous forme développée. En développant l'équation ci-dessus, on obtient une expression du type $x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0.$ Pour retrouver centre et rayon, on effectue le chemin inverse : compléter les carrés, exactement comme la forme canonique du chapitre 2, une fois en $x$ et une fois en $y$.
Toutes ces équations ne sont pas des cercles. Après regroupement, on aboutit à $(x-a)^2 + (y-b)^2 = k$. Trois cas :
- $k > 0$ : cercle de rayon $\sqrt k$ ;
- $k = 0$ : un point unique, le centre ;
- $k < 0$ : aucun point, l'ensemble est vide.
Conclure « c'est un cercle » sans vérifier le signe de $k$ est l'erreur classique du chapitre.
Cercle de diamètre $[AB]$. D'après le chapitre 7, c'est l'ensemble des $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0$, ce qui donne directement, en coordonnées : $(x-x_A)(x-x_B) + (y-y_A)(y-y_B) = 0.$
4. Exercices corrigés
Exercice 1 — Lire et écrire une équation
a. Donner un vecteur normal et un vecteur directeur de la droite $d : 4x - 3y + 12 = 0$. b. Déterminer une équation de la droite $d'$ passant par $A(2\,;-1)$ et de vecteur normal $\vec n\,(5\,;3)$.
Correction. a. $\vec n\,(4\,;-3)$ est normal, et $\vec u\,(3\,;4)$ est directeur (on échange et on change un signe).
b. $M(x\,;y) \in d' \iff \vec n\cdot\overrightarrow{AM} = 0$, soit $5(x-2) + 3(y+1) = 0 \iff 5x - 10 + 3y + 3 = 0 \iff 5x + 3y - 7 = 0.$
Vérification : $A$ donne $10 - 3 - 7 = 0$ ✓.
Exercice 2 — Projeté orthogonal
Déterminer le projeté orthogonal $H$ du point $M(4\,;5)$ sur la droite $d : x + 2y - 4 = 0$, puis la distance de $M$ à $d$.
Correction. Un vecteur normal est $\vec n\,(1\,;2)$. Le point $H$ s'écrit $H = M + t\,\vec n$, soit $H\,(4 + t\,;\, 5 + 2t).$
$H$ appartient à $d$ : $(4+t) + 2(5+2t) - 4 = 0 \iff 4 + t + 10 + 4t - 4 = 0 \iff 5t + 10 = 0 \iff t = -2.$
D'où $H(4-2\,;\,5-4) = H(2\,;1)$.
Vérification : $2 + 2 - 4 = 0$ ✓, $H$ est bien sur $d$.
La distance vaut $MH = |t| \times \|\vec n\| = 2\sqrt{1+4} = 2\sqrt5 \approx 4{,}472.$
Contrôle direct : $\overrightarrow{MH}\,(-2\,;-4)$, de norme $\sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt5$ ✓.
Exercice 3 — Équation de cercle
a. Donner l'équation du cercle de centre $\Omega(3\,;-2)$ et de rayon $4$. b. Le point $A(6\,;0)$ appartient-il à ce cercle ?
Correction. a. $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16$. b. Pour $A(6\,;0)$ : $(6-3)^2 + (0+2)^2 = 9 + 4 = 13 \neq 16$. Le point n'appartient pas au cercle ; comme $13 < 16$, il est à l'intérieur.
Exercice 4 — Reconnaître un cercle
L'ensemble d'équation $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$ est-il un cercle ? Si oui, préciser centre et rayon.
Correction. Complétons les carrés séparément en $x$ et en $y$ : $x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9, \qquad y^2 + 4y = (y+2)^2 - 4.$ L'équation devient $(x-3)^2 - 9 + (y+2)^2 - 4 - 3 = 0 \iff (x-3)^2 + (y+2)^2 = 16.$
Le second membre est strictement positif : c'est bien un cercle, de centre $\Omega(3\,;-2)$ et de rayon $R = 4$.
(C'est exactement le cercle de l'exercice 3, sous sa forme développée.)
Exercice 5 — Un ensemble qui n'est pas un cercle
Déterminer l'ensemble des points $M(x\,;y)$ tels que $x^2 + y^2 - 2x + 6y + 15 = 0$.
Correction. En complétant les carrés : $(x-1)^2 - 1 + (y+3)^2 - 9 + 15 = 0 \iff (x-1)^2 + (y+3)^2 = -5.$
Une somme de deux carrés ne peut pas être négative : l'ensemble est vide.
Exercice 6 — Cercle de diamètre
Déterminer une équation du cercle de diamètre $[AB]$ avec $A(-1\,;2)$ et $B(5\,;4)$.
Correction. Méthode 1 — par le produit scalaire. L'équation est $(x+1)(x-5) + (y-2)(y-4) = 0.$ En développant : $x^2 - 4x - 5 + y^2 - 6y + 8 = 0$, soit $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 3 = 0.$
Méthode 2 — par le centre et le rayon. Le centre est le milieu $\Omega\left(\dfrac{-1+5}{2}\,;\dfrac{2+4}{2}\right) = \Omega(2\,;3)$, et le rayon vaut $R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{6^2 + 2^2}}{2} = \frac{\sqrt{40}}{2} = \sqrt{10}.$ D'où $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 10$.
Les deux méthodes concordent : en développant la seconde, $x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 10$, soit $x^2+y^2-4x-6y+3 = 0$ ✓.
À retenir
Droite $d : ax+by+c = 0 \quad\Longrightarrow\quad \vec n\,(a\,;b) \text{ normal}, \quad \vec u\,(-b\,;a) \text{ directeur}.$ Et réciproquement, un point $A$ et un normal $\vec n$ donnent $a(x-x_A) + b(y-y_A) = 0$.
Projeté orthogonal : $H \in d$ et $\overrightarrow{MH} = t\,\vec n$. On injecte, on résout en $t$, et la distance vaut $|t|\times\|\vec n\|$.
Cercle $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \qquad\text{(centre } \Omega(a\,;b)\text{, rayon } R).$ Sous forme développée : compléter les carrés, puis regarder le signe du second membre — cercle, point unique, ou ensemble vide.
Cercle de diamètre $[AB]$ : $(x-x_A)(x-x_B) + (y-y_A)(y-y_B) = 0$.
Fin de la partie géométrie. Les chapitres suivants abordent les probabilités.
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