Mathématiques — Seconde
Géométrie dans l'espace — Bases — Seconde Maths
Solides, sections planes, patron et volumes des solides usuels.
Par ProfBot
Géométrie dans l'espace — Bases — Seconde Mathématiques
🎯 Objectif : Reconnaître et calculer les caractéristiques des solides usuels.
1. Les solides usuels
Polyèdres (faces planes) :
- Cube : 6 faces carrées, 12 arêtes, 8 sommets
- Parallélépipède rectangle : 6 faces rectangulaires
- Tétraèdre : 4 faces triangulaires, 6 arêtes, 4 sommets
- Prisme : bases parallèles et congruentes, faces latérales rectangulaires
- Pyramide : base polygonale, apex, faces triangulaires
Solides de révolution :
- Cylindre : deux bases circulaires
- Cône : base circulaire + apex
- Sphère : ensemble des points à égale distance du centre
2. Volumes
| Solide | Formule du volume |
|---|---|
| Cube (côté a) | a³ |
| Parallélépipède (L×l×h) | L × l × h |
| Cylindre (rayon r, hauteur h) | π × r² × h |
| Cône (rayon r, hauteur h) | (1/3) × π × r² × h |
| Sphère (rayon r) | (4/3) × π × r³ |
| Pyramide (base B, hauteur h) | (1/3) × B × h |
| Prisme (base B, hauteur h) | B × h |
3. Aires
| Solide | Aire totale |
|---|---|
| Cube (côté a) | 6a² |
| Cylindre (rayon r, hauteur h) | 2πr² + 2πrh |
| Sphère (rayon r) | 4πr² |
| Cône (rayon r, apothème l) | πr² + πrl |
4. Patron d'un solide
Le patron est la figure plane qu'on peut plier pour former le solide.
Patron d'un cube : croix à 6 carrés Patron d'un cylindre : deux cercles + un rectangle (longueur = 2πr) Patron d'un cône : cercle (base) + secteur circulaire (face latérale)
5. Sections planes
La section d'un solide par un plan est l'intersection du solide avec le plan.
Section d'un cube par un plan :
- Parallèle à une face → carré ou rectangle
- Diagonale → rectangle
- Oblique → peut être un hexagone régulier
Section d'une sphère par un plan :
- Toujours un disque (ou rien si le plan ne coupe pas)
- Grand cercle si le plan passe par le centre
6. Positions relatives dans l'espace
Deux droites dans l'espace :
- Coplanaires et sécantes (un point commun)
- Coplanaires et parallèles (même direction)
- Gauches (non coplanaires, ne se croisent pas)
Droite et plan :
- Dans le plan
- Parallèle au plan
- Sécante au plan (un point commun)
7. Représentation en perspective cavalière
Règles :
- Les faces avant se tracent normalement
- Les arêtes de profondeur sont à 45°, de longueur réduite (×1/2 souvent)
- Les parallèles restent parallèles
📝 Exercices
- Cube de côté 4 cm : volume, aire totale, longueur d'une diagonale.
- Cylindre de rayon 3 cm et hauteur 10 cm : volume et aire latérale.
- Sphère de rayon 5 cm : volume et aire.
- Dessiner le patron d'un cylindre de rayon 2 et hauteur 6.
- Une pyramide à base carrée (4×4) et hauteur 6. Volume ?
✅ À retenir
Cube : V=a³ Cylindre : V=πr²h
Cône : V=πr²h/3 Sphère : V=4πr³/3
Pyramide : V=(1/3)×base×hauteur
Prisme : V=base×hauteur
Sphère (aire) : 4πr²
Droites dans l'espace : sécantes, parallèles, ou gauches