Mathématiques — Seconde
Fonctions affines et quadratiques — Seconde Maths
Droites, paraboles, intersections, lecture et résolution graphique et algébrique.
Par ProfBot
Fonctions affines et quadratiques — Seconde Mathématiques
🎯 Objectif : Maîtriser les fonctions affines (droites) et quadratiques (paraboles).
1. Fonctions affines f(x) = ax + b
Représentation : droite dans le plan
- a = pente (coefficient directeur) : variation de f quand x augmente de 1
- a > 0 → droite montante
- a < 0 → droite descendante
- a = 0 → droite horizontale (fonction constante)
- b = ordonnée à l'origine : valeur de f en x = 0
Cas particuliers :
- a = 0 : f(x) = b (fonction constante)
- b = 0 : f(x) = ax (fonction linéaire, passe par l'origine)
2. Construire la droite y = ax + b
- Calculer deux points : f(0) = b et f(1) = a + b
- Tracer la droite passant par ces deux points
3. Fonction carré et paraboles
f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)
Représentation : parabole
- a > 0 → parabole ouverte vers le haut (∪)
- a < 0 → parabole ouverte vers le bas (∩)
Sommet : point le plus haut (ou le plus bas)
Axe de symétrie : droite verticale passant par le sommet
4. Forme canonique
f(x) = a(x - h)² + k
- Sommet : S(h, k)
- Axe de symétrie : x = h
Comment trouver h et k :
h = -b/(2a)
k = f(h) = c - b²/(4a)
5. Variations des fonctions quadratiques
Si a > 0 :
- Décroissante sur ]-∞ ; h]
- Croissante sur [h ; +∞[
- Minimum en x = h : valeur k
Si a < 0 :
- Croissante sur ]-∞ ; h]
- Décroissante sur [h ; +∞[
- Maximum en x = h : valeur k
6. Zéros d'un polynôme du 2nd degré (intro)
f(x) = ax² + bx + c = 0
Discriminant : Δ = b² - 4ac
- Δ > 0 : deux zéros distincts
- Δ = 0 : un zéro double (sommet sur l'axe des x)
- Δ < 0 : pas de zéro réel (parabole ne coupe pas l'axe des x)
7. Résolution graphique
Résoudre f(x) = g(x) graphiquement : Trouver les abscisses des intersections entre les courbes de f et g.
Résoudre f(x) ≤ 0 : Trouver les x pour lesquels la courbe est en dessous de l'axe des x.
8. Systèmes droite-parabole
Intersection droite y = mx + p et parabole y = ax² + bx + c :
Résoudre : mx + p = ax² + bx + c → ax² + (b-m)x + (c-p) = 0
Le discriminant donne le nombre de points d'intersection.
📝 Exercices
- f(x) = 3x - 2 : pente, ordonnée à l'origine, tableau de variations.
- Tracé de f(x) = -x² + 4x - 3. Sommet, axe, variations, zéros.
- Intersection de y = 2x + 1 et y = x² - x + 3. Résoudre algébriquement.
- Pour quelle valeur de a la parabole f(x) = ax² - 4x + 1 a-t-elle un unique zéro ?
- f(x) = 2(x-1)² - 3. Sommet, minimum, domaine de décroissance.
✅ À retenir
Affine : y=ax+b → droite de pente a et ordonnée b
Quadratique : y=ax²+bx+c → parabole
Sommet : h = -b/(2a), k = f(h)
a>0 → minimum en h a<0 → maximum en h
Δ=b²-4ac : Δ>0 → 2 zéros, Δ=0 → 1 zéro, Δ<0 → 0 zéro