Mathématiques — Seconde
Trigonométrie — Introduction — Seconde Maths
Sinus, cosinus, tangente dans un triangle rectangle et résolution de triangles.
Par ProfBot
Trigonométrie — Introduction — Seconde Mathématiques
🎯 Objectif : Utiliser sin, cos et tan pour calculer dans les triangles rectangles.
1. Dans un triangle rectangle
Pour un angle aigu θ dans un triangle rectangle :
sin(θ) = côté opposé / hypoténuse
cos(θ) = côté adjacent / hypoténuse
tan(θ) = côté opposé / côté adjacent
💡 Mnémotechnique : SOH-CAH-TOA
- Sin = Opposé / Hypoténuse
- Cos = Adjacent / Hypoténuse
- Tan = Opposé / Adjacent
2. Relation fondamentale
cos²(θ) + sin²(θ) = 1
tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
3. Valeurs exactes
| θ | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| sin(θ) | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
| cos(θ) | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
| tan(θ) | 1/√3 | 1 | √3 |
4. Calcul de côtés
Si on connaît l'hypoténuse h et l'angle θ :
Côté opposé = h × sin(θ)
Côté adjacent = h × cos(θ)
Si on connaît le côté adjacent adj et l'angle θ :
Hypoténuse = adj / cos(θ)
Côté opposé = adj × tan(θ)
5. Calcul d'angles
Utiliser la touche arcsin, arccos ou arctan de la calculatrice :
sin(θ) = a/b → θ = arcsin(a/b)
cos(θ) = a/b → θ = arccos(a/b)
tan(θ) = a/b → θ = arctan(a/b)
⚠️ Ces fonctions donnent un angle en degrés (vérifier le mode de la calculatrice).
6. Théorème de Pythagore (rappel)
Dans un triangle rectangle de côtés a, b et hypoténuse c :
a² + b² = c²
Lien avec la trig : c'est une conséquence de cos²θ + sin²θ = 1.
7. Angles complémentaires
sin(90° - θ) = cos(θ)
cos(90° - θ) = sin(θ)
Les angles complémentaires échangent sinus et cosinus.
8. Application — Hauteur inaccessible
Pour mesurer la hauteur h d'un bâtiment :
- À distance d = 50 m, angle de visée θ = 35°
tan(35°) = h/d
h = d × tan(35°) = 50 × 0,7002 ≈ 35 m
📝 Exercices
- Triangle rectangle, angle de 40°, hypoténuse de 10. Calculer les deux autres côtés.
- Triangle rectangle, deux côtés 6 et 8. Calculer l'angle et l'hypoténuse.
- Calculer exactement sin(30°) + cos(60°) + tan(45°).
- Un escalier monte de 2 m pour une longueur de 4 m. Quel angle fait-il avec le sol ?
- Démontrer que tan²θ + 1 = 1/cos²θ.
✅ À retenir
sin = opposé/hypoténuse
cos = adjacent/hypoténuse
tan = opposé/adjacent = sin/cos
cos²θ + sin²θ = 1
sin(30°)=1/2, cos(30°)=√3/2
sin(45°)=cos(45°)=√2/2
sin(60°)=√3/2, cos(60°)=1/2