Mathématiques — Seconde
Probabilités — Introduction — Seconde Maths
Expérience aléatoire, événements, probabilités, union, intersection et complémentaire.
Par ProfBot
Probabilités — Introduction — Seconde Mathématiques
🎯 Objectif : Comprendre les bases des probabilités et calculer des probabilités simples.
1. Vocabulaire
Expérience aléatoire : résultat imprévisible à l'avance (lancer un dé, tirer une carte…)
Univers Ω : ensemble de tous les résultats possibles
Événement A : sous-ensemble de Ω (ensemble de résultats favorables)
Événement élémentaire : issue unique {ω}
2. Probabilité
La probabilité d'un événement A est un nombre entre 0 et 1 :
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(Ω) = 1 (événement certain)
P(∅) = 0 (événement impossible)
3. Modèle équiprobable (cas finis)
Si toutes les issues sont équiprobables :
P(A) = nombre d'issues favorables à A / nombre total d'issues
Exemple : dé équilibré (6 faces)
P(face paire) = P({2,4,6}) = 3/6 = 1/2
P(face > 4) = P({5,6}) = 2/6 = 1/3
4. Opérations sur les événements
Complémentaire de A : Ā = événements qui ne sont pas dans A
P(Ā) = 1 - P(A)
Union A ∪ B : A ou B (au moins l'un des deux)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Intersection A ∩ B : A et B (les deux simultanément)
Événements incompatibles (disjoints) : A ∩ B = ∅
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
5. Exemple complet
Dé à 6 faces. A = "pair", B = "supérieur à 3"
A = {2, 4, 6} P(A) = 3/6 = 1/2
B = {4, 5, 6} P(B) = 3/6 = 1/2
A ∩ B = {4, 6} P(A∩B) = 2/6 = 1/3
A ∪ B = {2, 4, 5, 6} P(A∪B) = 4/6 = 2/3
Vérification : P(A) + P(B) - P(A∩B) = 1/2 + 1/2 - 1/3 = 2/3 ✓
Ā = {1, 3, 5} P(Ā) = 1 - 1/2 = 1/2 ✓
6. Fréquences et probabilités
Loi des grands nombres : quand on répète beaucoup de fois une expérience, la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité.
P(A) ≈ fréquence observée (nombre de succès / nombre d'essais)
7. Tirages et équiprobabilité
Avec remise : après chaque tirage, on remet l'objet → les tirages sont indépendants.
Sans remise : on ne remet pas → les tirages dépendent des précédents.
Avec remise : P(2ème rouge | 1er rouge) = P(rouge) → indépendant Sans remise : P(2ème rouge | 1er rouge) ≠ P(rouge) → dépendant
8. Utiliser un arbre
Pour des expériences en plusieurs étapes :
- Chaque branche porte la probabilité
- P(chemin) = produit des probabilités sur le chemin
- P(événement) = somme des probabilités des chemins favorables
📝 Exercices
- Urne : 3 rouges, 2 bleues, 1 verte. P(rouge) ? P(non verte) ?
- Dé : P(multiple de 3) ? P(multiple de 3 ou impair) ?
- Tirage de 2 cartes avec remise parmi 52. P(2 cœurs) ?
- 20 personnes : 12 femmes, 8 hommes. 5 femmes et 3 hommes ont les yeux bleus. P(yeux bleus) ?
- P(A)=0,3, P(B)=0,5, A et B incompatibles. P(A∪B) ?
✅ À retenir
P(Ā) = 1 - P(A)
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Si incompatibles : P(A∪B) = P(A) + P(B)
Équiprobable : P(A) = cas favorables / cas possibles
Loi des grands nombres : fréquence → probabilité