Mathématiques — Seconde
Statistiques et représentations graphiques — Seconde Maths
Effectifs, fréquences, moyennes, médiane, quartiles, variance et écart-type.
Par ProfBot
Statistiques et représentations graphiques — Seconde Mathématiques
🎯 Objectif : Analyser et interpréter des données statistiques.
1. Vocabulaire de base
Population : ensemble étudié (ex : les élèves d'un lycée) Individu : élément de la population (ex : un élève) Caractère : propriété mesurée (ex : la note de maths)
Types de caractères :
- Qualitatif : catégorie (couleur, opinion...)
- Quantitatif discret : valeurs entières (nombre d'enfants)
- Quantitatif continu : toute valeur dans un intervalle (taille, poids)
2. Effectifs et fréquences
Effectif nᵢ : nombre d'individus ayant la valeur xᵢ Effectif total : N = n₁ + n₂ + … + nₖ
Fréquence :
fᵢ = nᵢ / N
Fréquences cumulées croissantes : somme des fréquences jusqu'à la valeur xᵢ.
3. Représentations graphiques
| Type de caractère | Représentation |
|---|---|
| Qualitatif | Diagramme en barres, circulaire |
| Discret | Diagramme en bâtons |
| Continu | Histogramme |
| Séries chronologiques | Courbe brisée |
Histogramme : l'aire (pas la hauteur) est proportionnelle à l'effectif ou la fréquence. Hauteur de barre = fréquence / largeur de classe
4. Indicateurs de tendance centrale
Moyenne :
x̄ = (x₁n₁ + x₂n₂ + … + xₖnₖ) / N = Σ xᵢnᵢ / N
Médiane Me : valeur qui partage la série en deux moitiés égales (50% en dessous, 50% au-dessus)
Mode : valeur (ou classe) la plus fréquente
5. Indicateurs de dispersion
Étendue :
Étendue = valeur max - valeur min
Quartiles :
- Q₁ : 25% des valeurs sont inférieures ou égales à Q₁
- Q₂ = Médiane : 50%
- Q₃ : 75% des valeurs sont inférieures ou égales à Q₃
Intervalle interquartile : Q₃ - Q₁ (contient 50% des données centrales)
6. Variance et écart-type
Variance :
V = [n₁(x₁-x̄)² + n₂(x₂-x̄)² + … + nₖ(xₖ-x̄)²] / N
V = Σ nᵢ(xᵢ-x̄)² / N
Formule pratique :
V = (Σ nᵢxᵢ²)/N - x̄² (= moyenne des carrés - carré de la moyenne)
Écart-type :
σ = √V
Plus σ est grand, plus les données sont dispersées autour de la moyenne.
7. Boîte à moustaches (diagramme en boîte)
Représente les 5 valeurs clés :
min ──[ Q₁ | Médiane | Q₃ ]── max
Interprétation :
- Boîte large → données dispersées
- Médiane proche de Q₁ → distribution asymétrique à gauche
- Valeurs aberrantes ("outliers") au-delà de Q₃ + 1,5(Q₃-Q₁)
📝 Exercices
- Notes de 10 élèves : 8, 12, 15, 9, 11, 14, 12, 7, 13, 10. Calculer la moyenne, la médiane, Q₁, Q₃ et l'écart-type.
- Série : valeurs 2, 4, 6 avec fréquences 0,3 ; 0,5 ; 0,2. Calculer la moyenne et la variance.
- Quel type de graphique pour représenter les résultats d'un vote ? La distribution des tailles ?
- Interpréter une boîte à moustaches donnée : que peut-on dire de la distribution ?
✅ À retenir
Moyenne : x̄ = Σxᵢnᵢ/N
Médiane : partage en 50%-50%
Quartiles : Q₁ (25%), Q₂ (50%), Q₃ (75%)
Variance : V = Σnᵢ(xᵢ-x̄)²/N = Σnᵢxᵢ²/N - x̄²
Écart-type : σ = √V