Mathématiques — Seconde

Géométrie analytique — Droites et distances — Seconde Maths

Repère, coordonnées, équation de droite, vecteur directeur et distance.

Par ProfBot

Géométrie analytique — Droites et distances — Seconde Maths

🎯 Objectif : Maîtriser les équations de droites, les positions relatives et les distances dans le plan.

1. Repère orthonormé

          y
          │
        3 ┤     ✦ M(2, 3)
          │    ╱
        2 ┤   ╱
          │  ╱
        1 ┤ ╱
          │╱
  ────────┼──────────── x
         O│ 1   2   3
          │
        -1┤

  M(xM ; yM) = M(2 ; 3)
  Abscisse xM = 2  │  Ordonnée yM = 3

2. Équation d'une droite

  ╔═══════════════════════════════════════════╗
  ║  Toute droite non verticale a une        ║
  ║  équation de la forme :                  ║
  ║                                          ║
  ║        y = ax + b                        ║
  ║                                          ║
  ║  a = coefficient directeur (pente)       ║
  ║  b = ordonnée à l'origine               ║
  ╚═══════════════════════════════════════════╝

  Exemple : y = 2x + 1

  y
  │         ╱
  5┤       ╱  quand x augmente de 1,
  │      ╱   y augmente de 2 (pente = 2)
  3┤    ╱
  │   ╱
  1┤──╱──────── (b = 1 : la droite coupe y en 1)
  │╱
  ┼──────────── x

  Droite verticale : x = k  (pas de coefficient directeur)

3. Coefficient directeur

  Pour deux points A(x₁ ; y₁) et B(x₂ ; y₂) :

        y₂ − y₁       Δy
  a =  ────────── =  ────
        x₂ − x₁       Δx

  Exemple : A(1 ; 2) et B(3 ; 6)

         6 − 2     4
  a =  ──────── = ─── = 2
         3 − 1     2

  Interprétation graphique :

  B ✦           Δy = 4 (monter de 4)
    │╲
  4 │  ╲
    │    ╲        Δx = 2 (aller à droite de 2)
  A ✦────╲─────
     ←2→
      Δx

  Pente positive → droite montante
  Pente négative → droite descendante
  Pente = 0 → droite horizontale

4. Équation de droite passant par deux points

  Méthode : A(1 ; 3) et B(4 ; 9)

  Étape 1 : calculer a = (9−3)/(4−1) = 6/3 = 2

  Étape 2 : y = 2x + b
            Substituer A(1 ; 3) : 3 = 2×1 + b → b = 1

  Résultat : y = 2x + 1

  Vérification avec B(4 ; 9) : 2×4 + 1 = 9 ✓

5. Positions relatives de deux droites

  ── Droites parallèles ──
  (D₁) : y = 2x + 1
  (D₂) : y = 2x − 3     → même coefficient directeur (a = 2)

   y
   │  ╱ D₁         Les droites ne se coupent jamais.
   │ ╱  (b=1)
   │╱
   ─────────── x
   │╱
   │╱ D₂ (b=−3)

  ── Droites sécantes (qui se croisent) ──
  (D₁) : y = 2x + 1
  (D₂) : y = −x + 4     → coefficients différents

  Intersection : 2x + 1 = −x + 4
                 3x = 3 → x = 1 → y = 3
                 Point d'intersection : (1 ; 3)

  ── Droites perpendiculaires ──
  Si a₁ × a₂ = −1 → droites perpendiculaires

  a₁ = 2,  a₂ = −1/2 : 2 × (−1/2) = −1 ✓ perpendiculaires

6. Distance entre deux points

  d(A, B) = √[(xB − xA)² + (yB − yA)²]

  Exemple : A(1 ; 2) et B(4 ; 6)

  d(A, B) = √[(4−1)² + (6−2)²]
           = √[3² + 4²]
           = √[9 + 16]
           = √25
           = 5

  Visualisation :

  B(4,6) ✦
          │╲
          │  ╲ d = 5
        4 │    ╲
          │      ╲
  A(1,2) ✦────────╲
              3
      (Pythagore : 3² + 4² = 5²)

7. Milieu d'un segment

  Milieu I de [AB] :

       xA + xB       yA + yB
  xI = ────────   yI = ────────
           2               2

  Exemple : A(2 ; 4) et B(6 ; 8)

       2 + 6         4 + 8
  xI = ────── = 4,  yI = ────── = 6
          2                2

  I = (4 ; 6)

        B(6,8) ✦
               │
               │
        I(4,6) ✦  ← milieu
               │
               │
        A(2,4) ✦

📝 Exercices

1. Donner le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de y = −3x + 5.
2. Trouver l'équation de la droite passant par A(0 ; 2) et B(3 ; 8).
3. Les droites y = 4x − 1 et y = 4x + 7 sont-elles parallèles, sécantes ou confondues ?
4. Calculer la distance entre A(−1 ; 3) et B(5 ; 11).
5. Trouver le milieu de [CD] avec C(−2 ; 4) et D(6 ; −2).

✅ À retenir

Droite : y = ax + b   (a = pente, b = ordonnée à l'origine)
Pente : a = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
Parallèles : même a  │  Perpendiculaires : a₁ × a₂ = −1
Distance : d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]
Milieu : ((x₁+x₂)/2 ; (y₁+y₂)/2)

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