Mathématiques — Seconde
Équations et inéquations — Seconde Maths
Résolution d'équations et d'inéquations, avec tableaux de signes et systèmes.
Par ProfBot
Équations et inéquations — Seconde Mathématiques
🎯 Objectif : Résoudre toute équation ou inéquation rencontrée en Seconde.
1. Équations du premier degré
ax + b = 0 (a ≠ 0)
Solution : x = -b/a
Règles de transformation :
- On peut ajouter la même quantité des deux côtés
- On peut multiplier par la même quantité ≠ 0
- On peut diviser par la même quantité ≠ 0
2. Équations produit
Si un produit est nul : A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0
Méthode :
- Factoriser
- Chaque facteur = 0
Exemple :
(2x - 3)(x + 1) = 0
⟺ 2x - 3 = 0 ou x + 1 = 0
⟺ x = 3/2 ou x = -1
3. Systèmes d'équations (2 inconnues)
Méthode de substitution :
- Exprimer une variable en fonction de l'autre
- Substituer dans la 2ème équation
Exemple :
{ 2x + y = 5
{ x - y = 1
De la 2ème : x = y + 1
Substituer : 2(y+1) + y = 5 → 3y + 2 = 5 → y = 1
Donc : x = 2
Solution : (2, 1)
Méthode d'addition-soustraction (combinaison linéaire) : Multiplier les équations pour éliminer une variable.
4. Inéquations du premier degré
Règles :
- Addition/soustraction : même sens
- Multiplication/division par un nombre positif : même sens
- Multiplication/division par un nombre négatif : sens inversé
-2x + 4 > 0
-2x > -4
x < 2 ← sens inversé car on divise par -2
5. Tableau de signes
Pour étudier le signe d'un produit ou quotient, utiliser un tableau de signes.
Exemple : signe de f(x) = (x - 2)(x + 3)
Valeurs critiques : x = 2 et x = -3
x | -∞ -3 2 +∞
x+3 | - 0 + +
x-2 | - - 0 +
f(x) | + 0 - 0 +
Règles des signes : (+)(+) = + ; (-)(−) = + ; (+)(−) = − ; (−)(+) = −
6. Inéquations produit / quotient
Méthode :
- Identifier les facteurs et les valeurs critiques
- Faire le tableau de signes
- Lire la solution
Exemple : (x-2)(x+3) < 0
D'après le tableau ci-dessus, f(x) < 0 quand -3 < x < 2.
Solution : x ∈ ]-3 ; 2[
7. Équations avec valeur absolue
|ax + b| = c (c ≥ 0)
⟺ ax+b = c ou ax+b = -c
Exemple :
|2x - 1| = 5
⟺ 2x - 1 = 5 ou 2x - 1 = -5
⟺ x = 3 ou x = -2
8. Méthode graphique
Résoudre f(x) = k : trouver les abscisses des points de la courbe d'ordonnée k (intersection avec y = k).
Résoudre f(x) < g(x) : trouver les x pour lesquels la courbe de f est sous celle de g.
📝 Exercices
- Résoudre : 3x - 7 = 2x + 5
- Résoudre : (x+2)(3x-6) = 0
- Résoudre le système : {2x-y=3 et {x+2y=9}
- Signe de (x-1)(x+4) et résoudre (x-1)(x+4) ≥ 0
- Résoudre : |3x+2| ≤ 7
✅ À retenir
Produit nul : AB=0 ⟺ A=0 ou B=0
Inégalité : sens inversé si × ou ÷ par négatif
Tableau de signes : valeurs critiques + règle des signes
|ax+b|=c ⟺ ax+b=c ou ax+b=-c