Mathématiques — Seconde
Fonctions — Premières notions — Seconde Maths
Définition d'une fonction, tableau de valeurs, courbe représentative et lecture graphique.
Par ProfBot
Fonctions — Premières notions — Seconde Mathématiques
🎯 Objectif : Comprendre ce qu'est une fonction et lire une courbe représentative.
1. Définition
Une fonction f associe à chaque valeur x de son domaine une unique valeur f(x).
y = f(x) x → variable (entrée) f(x) → image (sortie)
Domaine Df : valeurs de x pour lesquelles f(x) est défini.
2. Fonctions de référence
<svg viewBox="0 0 500 215" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="500" height="215" style="max-width:100%;height:auto;display:block;margin:14px auto;font-family:sans-serif"> <line x1="35.0" y1="100.0" x2="165.0" y2="100.0" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/> <line x1="100.0" y1="15.0" x2="100.0" y2="185.0" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/> <text x="100" y="202" text-anchor="middle" font-size="12" fill="#2563eb" font-weight="bold">f(x) = x²</text> <path d="M 64.8 17.2 L 65.5 20.7 L 66.2 24.1 L 67.0 27.4 L 67.8 30.7 L 68.5 33.8 L 69.2 37.0 L 70.0 40.0 L 70.8 43.0 L 71.5 45.9 L 72.2 48.7 L 73.0 51.4 L 73.8 54.1 L 74.5 56.7 L 75.2 59.2 L 76.0 61.6 L 76.8 64.0 L 77.5 66.2 L 78.2 68.5 L 79.0 70.6 L 79.8 72.7 L 80.5 74.7 L 81.2 76.6 L 82.0 78.4 L 82.8 80.2 L 83.5 81.8 L 84.2 83.5 L 85.0 85.0 L 85.8 86.5 L 86.5 87.8 L 87.2 89.2 L 88.0 90.4 L 88.8 91.6 L 89.5 92.7 L 90.2 93.7 L 91.0 94.6 L 91.8 95.5 L 92.5 96.2 L 93.2 97.0 L 94.0 97.6 L 94.8 98.2 L 95.5 98.7 L 96.2 99.1 L 97.0 99.4 L 97.8 99.7 L 98.5 99.8 L 99.2 100.0 L 100.0 100.0 L 100.8 100.0 L 101.5 99.8 L 102.2 99.7 L 103.0 99.4 L 103.8 99.1 L 104.5 98.7 L 105.2 98.2 L 106.0 97.6 L 106.8 97.0 L 107.5 96.2 L 108.2 95.5 L 109.0 94.6 L 109.8 93.7 L 110.5 92.7 L 111.2 91.6 L 112.0 90.4 L 112.8 89.2 L 113.5 87.8 L 114.2 86.5 L 115.0 85.0 L 115.8 83.5 L 116.5 81.8 L 117.2 80.2 L 118.0 78.4 L 118.8 76.6 L 119.5 74.7 L 120.2 72.7 L 121.0 70.6 L 121.8 68.5 L 122.5 66.2 L 123.2 64.0 L 124.0 61.6 L 124.8 59.2 L 125.5 56.7 L 126.2 54.1 L 127.0 51.4 L 127.8 48.7 L 128.5 45.9 L 129.2 43.0 L 130.0 40.0 L 130.8 37.0 L 131.5 33.8 L 132.2 30.7 L 133.0 27.4 L 133.8 24.1 L 134.5 20.7 L 135.2 17.2" stroke="#2563eb" stroke-width="2" fill="none"/> <line x1="195.0" y1="100.0" x2="325.0" y2="100.0" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/> <line x1="260.0" y1="15.0" x2="260.0" y2="185.0" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/> <text x="260" y="202" text-anchor="middle" font-size="12" fill="#dc2626" font-weight="bold">f(x) = 1/x</text> <path d="M 195.5 103.5 L 196.2 103.5 L 197.0 103.6 L 197.8 103.6 L 198.5 103.7 L 199.2 103.7 L 200.0 103.8 L 200.8 103.8 L 201.5 103.8 L 202.2 103.9 L 203.0 103.9 L 203.8 104.0 L 204.5 104.1 L 205.2 104.1 L 206.0 104.2 L 206.8 104.2 L 207.5 104.3 L 208.2 104.3 L 209.0 104.4 L 209.8 104.5 L 210.5 104.5 L 211.2 104.6 L 212.0 104.7 L 212.8 104.8 L 213.5 104.8 L 214.2 104.9 L 215.0 105.0 L 215.8 105.1 L 216.5 105.2 L 217.2 105.3 L 218.0 105.4 L 218.8 105.5 L 219.5 105.6 L 220.2 105.7 L 221.0 105.8 L 221.8 105.9 L 222.5 106.0 L 223.2 106.1 L 224.0 106.2 L 224.8 106.4 L 225.5 106.5 L 226.2 106.7 L 227.0 106.8 L 227.8 107.0 L 228.5 107.1 L 229.2 107.3 L 230.0 107.5 L 230.8 107.7 L 231.5 107.9 L 232.2 108.1 L 233.0 108.3 L 233.8 108.6 L 234.5 108.8 L 235.2 109.1 L 236.0 109.4 L 236.8 109.7 L 237.5 110.0 L 238.2 110.3 L 239.0 110.7 L 239.8 111.1 L 240.5 111.5 L 241.2 112.0 L 242.0 112.5 L 242.8 113.0 L 243.5 113.6 L 244.2 114.3 L 245.0 115.0 L 245.8 115.8 L 246.5 116.7 L 247.2 117.6 L 248.0 118.8 L 248.8 120.0 L 249.5 121.4 L 250.2 123.1 L 251.0 125.0 L 251.8 127.3 L 252.5 130.0 L 253.2 133.3 L 254.0 137.5 L 254.8 142.9 L 255.5 150.0 L 256.2 160.0 L 257.0 175.0" stroke="#dc2626" stroke-width="2" fill="none"/> <path d="M 263.0 25.0 L 263.8 40.0 L 264.5 50.0 L 265.2 57.1 L 266.0 62.5 L 266.8 66.7 L 267.5 70.0 L 268.2 72.7 L 269.0 75.0 L 269.8 76.9 L 270.5 78.6 L 271.2 80.0 L 272.0 81.2 L 272.8 82.4 L 273.5 83.3 L 274.2 84.2 L 275.0 85.0 L 275.8 85.7 L 276.5 86.4 L 277.2 87.0 L 278.0 87.5 L 278.8 88.0 L 279.5 88.5 L 280.2 88.9 L 281.0 89.3 L 281.8 89.7 L 282.5 90.0 L 283.2 90.3 L 284.0 90.6 L 284.8 90.9 L 285.5 91.2 L 286.2 91.4 L 287.0 91.7 L 287.8 91.9 L 288.5 92.1 L 289.2 92.3 L 290.0 92.5 L 290.8 92.7 L 291.5 92.9 L 292.2 93.0 L 293.0 93.2 L 293.8 93.3 L 294.5 93.5 L 295.2 93.6 L 296.0 93.8 L 296.8 93.9 L 297.5 94.0 L 298.2 94.1 L 299.0 94.2 L 299.8 94.3 L 300.5 94.4 L 301.2 94.5 L 302.0 94.6 L 302.8 94.7 L 303.5 94.8 L 304.2 94.9 L 305.0 95.0 L 305.8 95.1 L 306.5 95.2 L 307.2 95.2 L 308.0 95.3 L 308.8 95.4 L 309.5 95.5 L 310.2 95.5 L 311.0 95.6 L 311.8 95.7 L 312.5 95.7 L 313.2 95.8 L 314.0 95.8 L 314.8 95.9 L 315.5 95.9 L 316.2 96.0 L 317.0 96.1 L 317.8 96.1 L 318.5 96.2 L 319.2 96.2 L 320.0 96.2 L 320.8 96.3 L 321.5 96.3 L 322.2 96.4 L 323.0 96.4 L 323.8 96.5 L 324.5 96.5" stroke="#dc2626" stroke-width="2" fill="none"/> <line x1="355.0" y1="100.0" x2="485.0" y2="100.0" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/> <line x1="420.0" y1="15.0" x2="420.0" y2="185.0" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/> <text x="420" y="202" text-anchor="middle" font-size="12" fill="#16a34a" font-weight="bold">f(x) = √x</text> <path d="M 420.0 100.0 L 420.8 96.6 L 421.5 95.3 L 422.2 94.2 L 423.0 93.3 L 423.8 92.5 L 424.5 91.8 L 425.2 91.1 L 426.0 90.5 L 426.8 89.9 L 427.5 89.4 L 428.2 88.9 L 429.0 88.4 L 429.8 87.9 L 430.5 87.5 L 431.2 87.0 L 432.0 86.6 L 432.8 86.2 L 433.5 85.8 L 434.2 85.4 L 435.0 85.0 L 435.8 84.6 L 436.5 84.3 L 437.2 83.9 L 438.0 83.6 L 438.8 83.2 L 439.5 82.9 L 440.2 82.6 L 441.0 82.3 L 441.8 81.9 L 442.5 81.6 L 443.2 81.3 L 444.0 81.0 L 444.8 80.7 L 445.5 80.4 L 446.2 80.2 L 447.0 79.9 L 447.8 79.6 L 448.5 79.3 L 449.2 79.1 L 450.0 78.8 L 450.8 78.5 L 451.5 78.3 L 452.2 78.0 L 453.0 77.8 L 453.8 77.5 L 454.5 77.3 L 455.2 77.0 L 456.0 76.8 L 456.8 76.5 L 457.5 76.3 L 458.2 76.0 L 459.0 75.8 L 459.8 75.6 L 460.5 75.4 L 461.2 75.1 L 462.0 74.9 L 462.8 74.7 L 463.5 74.5 L 464.2 74.2 L 465.0 74.0 L 465.8 73.8 L 466.5 73.6 L 467.2 73.4 L 468.0 73.2 L 468.8 73.0 L 469.5 72.8 L 470.2 72.5 L 471.0 72.3 L 471.8 72.1 L 472.5 71.9 L 473.2 71.7 L 474.0 71.5 L 474.8 71.3 L 475.5 71.1 L 476.2 71.0 L 477.0 70.8 L 477.8 70.6 L 478.5 70.4 L 479.2 70.2 L 480.0 70.0 L 480.8 69.8 L 481.5 69.6 L 482.2 69.4 L 483.0 69.3 L 483.8 69.1 L 484.5 68.9" stroke="#16a34a" stroke-width="2" fill="none"/>
</svg>
| Fonction | Formule | Domaine | ||
|---|---|---|---|---|
| Affine | f(x) = ax + b | ℝ | ||
| Carré | f(x) = x² | ℝ | ||
| Inverse | f(x) = 1/x | ℝ\{0} | ||
| Racine | f(x) = √x | [0 ; +∞[ | ||
| Valeur absolue | f(x) = | x | ℝ |
3. Image et antécédent
- Image de a : calculer f(a) → ordonnée du point d'abscisse a
- Antécédent de b : résoudre f(x) = b → abscisses des points d'ordonnée b
Exemple : f(x) = x²
- Image de 3 : f(3) = 9
- Antécédents de 4 : x = 2 et x = −2
4. Sens de variation
Croissante sur I : a < b ⟹ f(a) < f(b) → courbe qui monte
Décroissante sur I : a < b ⟹ f(a) > f(b) → courbe qui descend
Variations des fonctions de référence :
| Fonction | Croissante | Décroissante |
|---|---|---|
| x² | [0 ; +∞[ | ]−∞ ; 0] |
| x³ | ℝ | — |
| 1/x | — | ]−∞;0[ et ]0;+∞[ |
| √x | [0 ; +∞[ | — |
5. Fonction composée
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) ← appliquer g d'abord, puis f
Exemple : f(x) = x² et g(x) = x+1
(f∘g)(x) = (x+1)² (g∘f)(x) = x²+1
⚠️ En général, f∘g ≠ g∘f
6. Lire un graphique
- Zéros de f : intersections avec l'axe des x
- f(a) = b : le point (a,b) est sur la courbe
- f ≥ g : la courbe de f est au-dessus de celle de g
📝 Exercices
- f(x) = x²−3x+2. Calculer f(0), f(1), f(3). Antécédents de 2 ?
- g(x) = √(x+4). Domaine ? g(0), g(5) ?
- f(x)=2x+1, g(x)=x². Calculer (f∘g)(3) et (g∘f)(−1).
- Donner les variations de f(x)=−x².
- Pour quelles valeurs x²≤x+2 ?
✅ À retenir
f(a) = image de a antécédent : f(x) = b
Domaine : dénominateur≠0, racine≥0
Paire : f(−x)=f(x) → symétrie par rapport à Oy
Croissante : x↑ alors f(x)↑
(f∘g)(x) = f(g(x)) — appliquer g d'abord