Mathématiques — Seconde
Ensembles de nombres et calcul algébrique — Seconde Maths
ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, opérations, factorisation, développement et fractions.
Par ProfBot
Ensembles de nombres et calcul algébrique — Seconde Mathématiques
🎯 Objectif : Maîtriser les différents ensembles de nombres et les techniques de calcul algébrique.
1. Les ensembles de nombres
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
- ℕ = {0, 1, 2, 3, …} (entiers naturels)
- ℤ = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} (entiers relatifs)
- ℚ = {a/b | a ∈ ℤ, b ∈ ℤ, b ≠ 0} (rationnels — fractions)
- ℝ = tous les réels (incluant irrationnels comme √2, π)
Nombre irrationnel : ne peut pas s'écrire comme une fraction. Ex : √2, π, e.
2. Intervalles
[a ; b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} (fermé)
]a ; b[ = {x ∈ ℝ | a < x < b} (ouvert)
[a ; +∞[ = {x ∈ ℝ | x ≥ a}
]-∞ ; b] = {x ∈ ℝ | x ≤ b}
Intersection : A ∩ B = éléments dans A ET dans B Réunion : A ∪ B = éléments dans A OU dans B (ou les deux)
3. Identités remarquables
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²
Mémorisation :
- Carré d'une somme = carré + double produit + carré
- Différence de carrés = (somme)(différence)
Exemples :
(3x + 2)² = 9x² + 12x + 4
(x - 5)(x + 5) = x² - 25
(2x - 1)² = 4x² - 4x + 1
4. Développement et réduction
Développer : supprimer les parenthèses Réduire : regrouper les termes semblables
(2x + 3)(x - 1) = 2x² - 2x + 3x - 3 = 2x² + x - 3
5. Factorisation
Factoriser : mettre en facteur commun ou reconnaître une identité remarquable.
Méthode 1 — Facteur commun :
6x² + 9x = 3x(2x + 3)
Méthode 2 — Identité remarquable :
x² - 16 = (x-4)(x+4)
4x² - 12x + 9 = (2x-3)²
Méthode 3 — Regroupement :
x³ - x² + x - 1 = x²(x-1) + (x-1) = (x-1)(x²+1)
6. Fractions et calcul
Addition/Soustraction : même dénominateur
a/b + c/d = (ad + bc) / (bd)
Multiplication :
(a/b) × (c/d) = (ac)/(bd)
Division :
(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (ad)/(bc)
Simplification : ne simplifier que des facteurs (pas des termes d'une somme)
(x² - 1)/(x - 1) = (x-1)(x+1)/(x-1) = x+1 (si x ≠ 1)
7. Valeur absolue
|x| = x si x ≥ 0
|x| = -x si x < 0
Propriétés :
|ab| = |a| × |b|
|a+b| ≤ |a| + |b| (inégalité triangulaire)
|x| < r ⟺ -r < x < r
|x| > r ⟺ x < -r ou x > r
📝 Exercices
- À quel(s) ensemble(s) appartient : -3, 2/5, √7, 0, π ?
- Développer et réduire : (2x - 3)² - (x+1)(x-1)
- Factoriser : 3x² - 12 et x² + 6x + 9
- Calculer : (2/3 + 3/4) × (5/6 ÷ 1/3)
- Résoudre |2x - 3| < 5
✅ À retenir
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
(a+b)² = a²+2ab+b² (a-b)² = a²-2ab+b²
(a+b)(a-b) = a²-b²
Facteur commun, identités remarquables
Fractions : même dénominateur pour + et -