Mathématiques — Première
Probabilités conditionnelles — Première Maths
Événements conditionnels, formule de Bayes, arbres et indépendance.
Par ProfBot
Probabilités conditionnelles — Première Mathématiques
🎯 Objectif : Calculer des probabilités en tenant compte d'informations partielles.
1. Probabilité conditionnelle
La probabilité de A sachant B (P(B) > 0) :
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
Conséquence immédiate :
P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B) = P(A) × P(B|A)
Interprétation : on restreint l'univers à B, et on mesure la part de A.
2. Exemple fondamental
Classe de 30 élèves : 18 filles, 12 garçons. 10 filles et 5 garçons ont la moyenne.
P(moyenne) = 15/30 = 1/2
P(fille) = 18/30 = 3/5
P(moyenne | fille) = P(fille et moyenne) / P(fille)
= (10/30) / (18/30) = 10/18 = 5/9
P(fille | moyenne) = (10/30) / (15/30) = 10/15 = 2/3
3. Indépendance
A et B sont indépendants si :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Équivalent : P(A|B) = P(A) — connaître B ne change pas la probabilité de A.
⚠️ Indépendance ≠ incompatibilité !
- Incompatibles : P(A∩B) = 0
- Indépendants : P(A∩B) = P(A)P(B)
4. Arbres de probabilités
Règle des branches : P(chemin) = produit des probabilités sur les branches Règle des cas : P(événement) = somme des probabilités des chemins favorables
P(B|A) → P(A∩B) = P(A)×P(B|A)
P(A) → A ──────
P(B̄|A) → P(A∩B̄) = P(A)×P(B̄|A)
P(B|Ā) → P(Ā∩B) = P(Ā)×P(B|Ā)
P(Ā) → Ā ──────
P(B̄|Ā) → P(Ā∩B̄) = P(Ā)×P(B̄|Ā)
5. Formule des probabilités totales
Si (A₁, A₂, …, Aₙ) est une partition de Ω :
P(B) = P(B|A₁)P(A₁) + P(B|A₂)P(A₂) + … + P(B|Aₙ)P(Aₙ)
Cas simple (partition en A et Ā) :
P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|Ā)P(Ā)
6. Formule de Bayes
P(Aᵢ|B) = P(B|Aᵢ)P(Aᵢ) / P(B)
Permet de "remonter" de l'effet à la cause.
Exemple : Deux usines. U₁ produit 60% (3% défaut). U₂ produit 40% (5% défaut).
P(défaut) = 0,03×0,6 + 0,05×0,4 = 0,018 + 0,020 = 0,038
P(U₁|défaut) = 0,018/0,038 ≈ 0,47 (47%)
7. Successions d'épreuves indépendantes
Si les épreuves sont indépendantes :
P(A₁ ∩ A₂ ∩ … ∩ Aₙ) = P(A₁) × P(A₂) × … × P(Aₙ)
Exemple : P(3 succès de suite avec p=0,8) = 0,8³ = 0,512
📝 Exercices
- Dé : P(pair|supérieur à 3) = ?
- Urne : 4 rouges, 3 bleues. Tirage sans remise. P(2ème rouge | 1er rouge) ?
- Test VIH : sensibilité 99%, spécificité 99,5%, prévalence 0,1%. P(malade|test+) ?
- Deux événements : P(A)=0,4, P(B)=0,5, P(A∩B)=0,2. A et B sont-ils indépendants ?
- Tirer 2 fois avec remise d'une urne (2 boules blanches, 1 noire). P(exactement 1 blanche) ?
✅ À retenir
P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
P(A∩B) = P(A)×P(B|A)
Indépendance : P(A∩B) = P(A)P(B)
Prob. totales : P(B) = Σ P(B|Aᵢ)P(Aᵢ)
Bayes : P(Aᵢ|B) = P(B|Aᵢ)P(Aᵢ)/P(B)