Mathématiques — Première
Géométrie dans l'espace — Première Maths
Plans, droites, positions relatives, sphères et représentations dans l'espace.
Par ProfBot
Géométrie dans l'espace — Première Mathématiques
🎯 Objectif : Raisonner sur les positions relatives des droites et plans dans l'espace.
1. Positions relatives de deux droites
Dans l'espace, deux droites peuvent être :
- Sécantes : se croisent en un point
- Parallèles : même direction, ne se croisent pas, dans le même plan
- Coplanaires : dans le même plan (comprend sécantes et parallèles)
- Non coplanaires (gauches) : pas dans le même plan, ne se croisent pas
2. Positions relatives d'une droite et d'un plan
- Droite dans le plan : tous les points de la droite sont dans le plan
- Droite parallèle au plan : droite ∩ plan = ∅ et n'est pas dans le plan
- Droite sécante au plan : droite ∩ plan = {un seul point}
3. Positions relatives de deux plans
- Plans parallèles : ne se croisent pas
- Plans sécants : se croisent en une droite (la droite d'intersection)
4. Théorèmes fondamentaux
Théorème du toit (droites parallèles) : Si deux plans parallèles sont coupés par un troisième plan, leurs intersections sont deux droites parallèles.
Théorème de position d'une droite par rapport à un plan : Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite du plan.
Droite ⊥ plan : d ⊥ plan P si et seulement si d est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan.
5. Droites et plans perpendiculaires
Droite perpendiculaire à un plan : Une droite d est perpendiculaire au plan P si elle est perpendiculaire à toute droite de P passant par leur point d'intersection.
Propriété utile : Si d ⊥ P et d' est dans P, alors d ⊥ d'.
Plans perpendiculaires : Deux plans sont perpendiculaires si l'un contient une droite perpendiculaire à l'autre.
6. Repère dans l'espace
Dans un repère (O, i⃗, j⃗, k⃗) orthonormé :
- Tout point M a des coordonnées (x, y, z)
- Distance : OM = √(x² + y² + z²)
- Distance AB = √((xB-xA)² + (yB-yA)² + (zB-zA)²)
- Milieu de AB : ((xA+xB)/2, (yA+yB)/2, (zA+zB)/2)
Vecteur AB⃗ : (xB-xA, yB-yA, zB-zA)
7. Produit scalaire dans l'espace
Si u⃗ = (a,b,c) et v⃗ = (d,e,f) :
u⃗ · v⃗ = ad + be + cf
‖u⃗‖ = √(a²+b²+c²)
Orthogonalité : u⃗ · v⃗ = 0
8. Sphères
Sphère de centre Ω(a,b,c) et rayon R :
(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = R²
Un point M(x,y,z) est :
- Sur la sphère si ΩM² = R²
- Intérieur si ΩM² < R²
- Extérieur si ΩM² > R²
9. Sections d'un solide par un plan
Cube : sections possibles : carré, rectangle, hexagone, triangle...
Méthode pour construire la section :
- Trouver les intersections du plan avec chaque face
- Relier les points d'intersection
- Utiliser les propriétés de parallélisme
📝 Exercices
- Dans un cube ABCDEFGH, décrire la position relative de AB et EG. Sont-elles parallèles, sécantes, ou gauches ?
- A(1,2,3), B(4,0,-1), C(2,5,1). Calculer AB, le milieu de AC, et AB⃗·AC⃗.
- Section du cube de côté 1 par le plan passant par A, le milieu de BC et le milieu de EF.
- Montrer que u⃗(1,2,-1) et v⃗(3,-1,1) sont perpendiculaires.
- Centre (1,-2,3), rayon 4. Équation de la sphère. Le point P(1,-2,7) est-il sur la sphère ?
✅ À retenir
Droites dans l'espace : sécantes, parallèles, ou gauches
d ⊥ plan P : d perpendiculaire à deux droites sécantes de P
Coordonnées 3D : AB = √(Δx²+Δy²+Δz²)
Sphère : (x-a)²+(y-b)²+(z-c)² = R²
Produit scalaire 3D : u⃗·v⃗ = ad+be+cf