Mathématiques — Première

Produit scalaire dans le plan — Première Maths

Définition géométrique, formules analytiques, applications : orthogonalité, distance, angle.

Par ProfBot

Produit scalaire dans le plan — Première Maths

🎯 Objectif : Définir et calculer le produit scalaire, et l'utiliser pour des démonstrations géométriques.

1. Définition géométrique

  Soient deux vecteurs u⃗ et v⃗.
  Soit θ l'angle entre eux (0 ≤ θ ≤ 180°).

         v⃗
        ╱
       ╱  θ
      ╱────────── u⃗
    O

  u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos(θ)

  Cas particuliers :
  ┌────────────────────────────────────────────────┐
  │  θ = 0°   : u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖  (max > 0)  │
  │  θ = 90°  : u⃗ · v⃗ = 0  (vecteurs ⊥)          │
  │  θ = 180° : u⃗ · v⃗ = −‖u⃗‖ × ‖v⃗‖  (min < 0)  │
  └────────────────────────────────────────────────┘

2. Formule avec les coordonnées

  Si u⃗(x ; y) et v⃗(x' ; y') :

  u⃗ · v⃗ = x × x' + y × y'

  Exemple :
  u⃗(3 ; 4) et v⃗(2 ; −1)

  u⃗ · v⃗ = 3×2 + 4×(−1) = 6 − 4 = 2

3. Formule avec la norme

  ‖u⃗‖² = u⃗ · u⃗ = x² + y²

  u⃗ · v⃗ = (1/2) × [‖u⃗ + v⃗‖² − ‖u⃗‖² − ‖v⃗‖²]

  Formule de polarisation :

  u⃗ · v⃗ = (1/2)(‖u⃗‖² + ‖v⃗‖² − ‖u⃗ − v⃗‖²)

  Application géométrique (avec points) :
  Pour OA⃗ · OB⃗ :

       OA⃗ · OB⃗ = (1/2)(OA² + OB² − AB²)

       A
      ╱│╲
   b ╱ │ ╲ c = AB
    ╱  │  ╲
   O───────B
       a

4. Propriétés algébriques

  ┌──────────────────────────────────────────────┐
  │  u⃗ · v⃗ = v⃗ · u⃗            (commutativité)  │
  │  u⃗ · (v⃗ + w⃗) = u⃗·v⃗ + u⃗·w⃗ (distributivité) │
  │  (ku⃗) · v⃗ = k(u⃗ · v⃗)                       │
  │  u⃗ · u⃗ = ‖u⃗‖²                               │
  └──────────────────────────────────────────────┘

  Développement remarquable :
  ‖u⃗ + v⃗‖² = ‖u⃗‖² + 2u⃗·v⃗ + ‖v⃗‖²
  ‖u⃗ − v⃗‖² = ‖u⃗‖² − 2u⃗·v⃗ + ‖v⃗‖²
  (u⃗ + v⃗)·(u⃗ − v⃗) = ‖u⃗‖² − ‖v⃗‖²

5. Perpendicularité

  ╔═══════════════════════════════════════════╗
  ║  u⃗ ⊥ v⃗  ⟺  u⃗ · v⃗ = 0                  ║
  ╚═══════════════════════════════════════════╝

  Exemple :
  u⃗(3 ; 4) et v⃗(−4 ; 3)

  u⃗ · v⃗ = 3×(−4) + 4×3 = −12 + 12 = 0

  → u⃗ et v⃗ sont perpendiculaires.

  Visualisation :
      v⃗(−4,3)
      ╲
       ╲
        ╲   90°
         ╲──────── u⃗(3,4)
          O

6. Calcul d'un angle

          u⃗ · v⃗
  cos θ = ────────
          ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖

  Exemple : u⃗(1 ; 1) et v⃗(2 ; 0)

  u⃗ · v⃗ = 1×2 + 1×0 = 2
  ‖u⃗‖ = √(1² + 1²) = √2
  ‖v⃗‖ = √(2² + 0²) = 2

        2         2         1
  cos θ = ──── = ───── = ──── = √2/2
        √2 × 2   2√2     √2

  θ = 45°

  Vérification graphique :
       v⃗(2,0)
  ────────────→  → axe des x
  ↗ u⃗(1,1)
  45°

7. Application : cercle et angle inscrit

  Propriété : si AB est un diamètre du cercle,
  alors pour tout point M du cercle (M ≠ A, B) :

  AM⃗ · BM⃗ = 0  (angle droit en M)

  Preuve :
       M
      ╱ ╲
     ╱   ╲
    A──O──B    O = centre, AB = diamètre
    ←──d──→

  OA⃗ = −OB⃗, OM⃗ quelconque sur le cercle (|OM| = r)
  AM⃗ = OM⃗ − OA⃗,  BM⃗ = OM⃗ − OB⃗
  AM⃗ · BM⃗ = (OM⃗ − OA⃗)·(OM⃗ + OA⃗) = ‖OM⃗‖² − ‖OA⃗‖² = r² − r² = 0

📝 Exercices

1. Calculer u⃗(2;3) · v⃗(4;−1).
2. Montrer que u⃗(5;2) et v⃗(−4;10) sont perpendiculaires.
3. Calculer l'angle entre u⃗(1;0) et v⃗(1;√3).
4. A(1;2), B(4;6), C(−1;5). Calculer AB⃗·AC⃗. Les droites [AB] et [AC] sont-elles perpendiculaires ?

✅ À retenir

u⃗·v⃗ = ‖u⃗‖‖v⃗‖cos θ = xx' + yy'
u⃗⊥v⃗ ⟺ u⃗·v⃗ = 0
cos θ = (u⃗·v⃗)/(‖u⃗‖‖v⃗‖)
‖u⃗+v⃗‖² = ‖u⃗‖² + 2u⃗·v⃗ + ‖v⃗‖²

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