Physique-Chimie — 3ème
Masse volumique et identification des matériaux — Physique-Chimie Troisième (chapitre 2)
Masse volumique en troisième : relation m = ρ × V, mesurer une masse et un volume, volume d'un solide par déplacement d'eau, tableau des masses volumiques,…
Par ProfBot
Masse volumique et identification des matériaux
Chapitre 2 — Organisation et transformations de la matière · Classe de troisième
Un kilogramme de plomb et un kilogramme de plumes ont la même masse — la vieille devinette est juste, et elle passe à côté de l'essentiel : ils n'occupent pas du tout le même volume. Ce qui les distingue n'est ni la masse, ni le volume, mais le rapport des deux. Cette grandeur, la masse volumique, permet de reconnaître un matériau sans le détruire, de prévoir s'il flottera, et — au chapitre 7 — de deviner de quoi une planète est faite sans jamais y poser le pied.
Au programme officiel. Masse volumique : relation $m = \rho V$. Exploiter des mesures de masse volumique pour différencier des espèces chimiques ou des corps. (Programme de physique-chimie du cycle 4, BO n° 31 du 30 juillet 2020 ; la ressource Eduscol « Inscrire son enseignement dans une logique de cycle » place cet attendu au niveau 3e.)
1. Deux grandeurs qu'on ne confond pas : la masse et le volume
Définitions. La masse $m$ d'un corps mesure la quantité de matière qu'il contient. Elle se mesure avec une balance, en kilogrammes ou en grammes.
Le volume $V$ mesure la place qu'il occupe. Il se mesure en mètres cubes, en litres ou en centimètres cubes.
Mesurer un volume de liquide : on verse le liquide dans une éprouvette graduée posée sur une surface horizontale, et on lit la graduation au bas du ménisque, l'œil à la hauteur de la surface. Lire de biais fausse la mesure de plusieurs millilitres.
Mesurer le volume d'un solide qui ne se calcule pas (un caillou, un écrou, une clé) : on utilise la méthode du déplacement d'eau.
On note le volume d'eau seule ($V_1 = 50\ \mathrm{mL}$), on immerge complètement le solide, on relit ($V_2 = 70\ \mathrm{mL}$). Le solide a poussé l'eau vers le haut d'exactement son propre volume : $V = V_2 - V_1 = 20\ \mathrm{mL}$, c'est-à-dire $20\ \mathrm{cm^3}$. Deux conditions pour que la mesure soit juste : le solide doit être entièrement immergé, et il ne doit ni flotter, ni se dissoudre, ni absorber l'eau.
Pour un solide de forme simple, on calcule directement : un pavé droit de $2 \times 3 \times 4\ \mathrm{cm}$ a pour volume $24\ \mathrm{cm^3}$.
2. La masse volumique
Prenons trois échantillons d'aluminium de tailles différentes et mesurons chaque fois la masse et le volume.
| Échantillon | Masse $m$ | Volume $V$ | $\dfrac{m}{V}$ |
|---|---|---|---|
| petit | $13{,}5\ \mathrm{g}$ | $5{,}0\ \mathrm{cm^3}$ | $2{,}70\ \mathrm{g/cm^3}$ |
| moyen | $54{,}0\ \mathrm{g}$ | $20{,}0\ \mathrm{cm^3}$ | $2{,}70\ \mathrm{g/cm^3}$ |
| gros | $270{,}0\ \mathrm{g}$ | $100{,}0\ \mathrm{cm^3}$ | $2{,}70\ \mathrm{g/cm^3}$ |
La masse change, le volume change, mais leur quotient ne change pas. Ce quotient ne dépend pas de l'échantillon : il caractérise la matière elle-même.
Définition. La masse volumique d'un corps, notée $\rho$ (la lettre grecque « rhô »), est le quotient de sa masse par son volume :
$\rho = \frac{m}{V}$
Elle s'exprime en kilogrammes par mètre cube ($\mathrm{kg/m^3}$) dans le système international, et très souvent en grammes par centimètre cube ($\mathrm{g/cm^3}$) au laboratoire.
La masse volumique est une grandeur quotient, comme la vitesse en mathématiques. Elle répond à la question : quelle masse pour un volume de 1 ? Dire que le fer a pour masse volumique $7{,}87\ \mathrm{g/cm^3}$, c'est dire qu'un centimètre cube de fer pèse $7{,}87$ grammes.
Conversion entre les deux unités. Comme $1\ \mathrm{g} = 0{,}001\ \mathrm{kg}$ et $1\ \mathrm{cm^3} = 0{,}000\,001\ \mathrm{m^3}$ :
$1\ \mathrm{g/cm^3} = \frac{0{,}001\ \mathrm{kg}}{0{,}000\,001\ \mathrm{m^3}} = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$
Ainsi l'eau vaut $1{,}00\ \mathrm{g/cm^3}$, c'est-à-dire $1000\ \mathrm{kg/m^3}$ : une bouteille d'un litre d'eau a une masse de $1\ \mathrm{kg}$, et un mètre cube d'eau pèse une tonne.
3. Les trois relations, et comment les retrouver
De la définition $\rho = \dfrac{m}{V}$ découlent deux autres formules, selon la grandeur cherchée.
On cache du doigt la grandeur cherchée : ce qui reste visible donne la formule. La masse est en haut, donc $m$ est le produit $\rho \times V$ ; $\rho$ et $V$ sont côte à côte en bas, donc chacun s'obtient en divisant $m$ par l'autre.
$\rho = \frac{m}{V} \qquad m = \rho \times V \qquad V = \frac{m}{\rho}$
Un réflexe de contrôle. Avant d'écrire le résultat, on vérifie que les unités s'accordent : une masse volumique en $\mathrm{g/cm^3}$ multipliée par un volume en $\mathrm{cm^3}$ donne des grammes. Si le volume est en litres et $\rho$ en $\mathrm{g/cm^3}$, il faut convertir d'abord.
Exemple 1 — calculer une masse. Quelle est la masse d'un bloc de fer de $250\ \mathrm{cm^3}$ ?
$m = \rho \times V = 7{,}87 \times 250 = 1967{,}5\ \mathrm{g} \approx 1{,}97\ \mathrm{kg}$
Exemple 2 — calculer un volume. Quel volume occupe $1{,}0\ \mathrm{kg}$ de plomb ?
$V = \frac{m}{\rho} = \frac{1000}{11{,}30} \approx 88{,}5\ \mathrm{cm^3}$
Moins d'un dixième de litre : c'est pour cela qu'un petit plomb de pêche est si lourd dans la main.
4. Le tableau des masses volumiques
Les valeurs sont données à température ambiante. La barre de l'eau, à $1{,}00\ \mathrm{g/cm^3}$, sert de repère : tout ce qui est à sa gauche flotte sur l'eau, tout ce qui est à sa droite y coule.
| Corps | $\rho$ (en $\mathrm{g/cm^3}$) | $\rho$ (en $\mathrm{kg/m^3}$) |
|---|---|---|
| Air | $0{,}0012$ | $1{,}2$ |
| Liège | $0{,}24$ | $240$ |
| Bois (chêne) | $0{,}75$ | $750$ |
| Éthanol | $0{,}79$ | $790$ |
| Huile | $0{,}92$ | $920$ |
| Glace | $0{,}92$ | $920$ |
| Eau | $\mathbf{1{,}00}$ | $\mathbf{1000}$ |
| Aluminium | $2{,}70$ | $2700$ |
| Fer | $7{,}87$ | $7870$ |
| Cuivre | $8{,}96$ | $8960$ |
| Plomb | $11{,}30$ | $11\,300$ |
| Mercure | $13{,}60$ | $13\,600$ |
| Or | $19{,}30$ | $19\,300$ |
L'air a une masse. $1{,}2\ \mathrm{kg}$ par mètre cube : c'est peu par centimètre cube, mais l'air d'une salle de classe de $30\ \mathrm{m^3}$ a une masse de $1{,}2 \times 30 = 36\ \mathrm{kg}$ — le poids d'un élève de sixième. On ne le sent pas parce qu'on baigne dedans.
Voici ce que « un kilogramme » veut dire pour cinq matières. Un kilogramme de liège occupe $4167\ \mathrm{cm^3}$, un kilogramme de plomb seulement $88\ \mathrm{cm^3}$ : quarante-sept fois moins. Les cubes sont dessinés à l'échelle les uns par rapport aux autres.
5. Identifier un matériau
C'est l'usage le plus fréquent de la masse volumique : deux mesures, une division, et on nomme le métal — sans l'abîmer.
Méthode. 1) Mesurer la masse $m$ à la balance. 2) Mesurer le volume $V$ (déplacement d'eau, ou calcul si la forme est simple). 3) Calculer $\rho = \dfrac{m}{V}$. 4) Comparer au tableau.
Exemple. Un écrou métallique a une masse $m = 89{,}6\ \mathrm{g}$. Plongé dans une éprouvette, il fait monter l'eau de $10{,}0\ \mathrm{mL}$.
$\rho = \frac{m}{V} = \frac{89{,}6}{10{,}0} = 8{,}96\ \mathrm{g/cm^3}$
Le tableau donne $8{,}96\ \mathrm{g/cm^3}$ pour le cuivre : l'écrou est en cuivre.
Prudence sur la conclusion. La masse volumique ne prouve jamais à elle seule l'identité d'un matériau : deux corps différents peuvent avoir des masses volumiques très proches (la glace et l'huile valent toutes deux $0{,}92\ \mathrm{g/cm^3}$). Elle permet d'écarter des candidats avec certitude, et de proposer le plus probable. On confirme ensuite par d'autres propriétés — l'aspect, la dureté, la réaction avec un acide (chapitre 6).
Cette prudence a une conséquence célèbre. Une couronne de $500\ \mathrm{g}$ occupe $30\ \mathrm{cm^3}$ :
$\rho = \frac{500}{30} \approx 16{,}7\ \mathrm{g/cm^3}$
$16{,}7$ n'est pas $19{,}3$ : la couronne n'est pas en or pur, c'est certain. De quoi elle est faite exactement, la seule masse volumique ne le dit pas.
6. Flotter ou couler
Règle. Un corps flotte sur un liquide si sa masse volumique est plus petite que celle du liquide ; il coule si elle est plus grande.
Deux liquides non miscibles se superposent dans l'ordre de leurs masses volumiques : l'huile ($0{,}92$) reste au-dessus de l'eau ($1{,}00$). Chaque objet s'arrête au niveau qui lui correspond : le liège ($0{,}24$) flotte tout en haut, la balle de plastique ($0{,}95$) traverse l'huile mais flotte sur l'eau, la bille de fer ($7{,}87$) tombe au fond. La colonne classe les corps du plus léger au plus dense, de haut en bas.
Pourquoi la glace flotte. L'eau est une exception remarquable : en gelant, elle augmente de volume. Sa masse ne change pas, son volume grandit, donc sa masse volumique diminue — de $1{,}00$ à $0{,}92\ \mathrm{g/cm^3}$. C'est pour cela que les glaçons flottent, que les lacs gèlent en surface sans se solidifier jusqu'au fond, et que les bouteilles d'eau oubliées au congélateur éclatent.
La densité. On rencontre parfois la densité $d$ d'un corps : c'est le rapport de sa masse volumique à celle de l'eau.
$d = \frac{\rho}{\rho_{\text{eau}}}$
C'est un nombre sans unité. Comme $\rho_{\text{eau}} = 1{,}00\ \mathrm{g/cm^3}$, la densité d'un corps a la même valeur que sa masse volumique exprimée en $\mathrm{g/cm^3}$ : le fer a une densité de $7{,}87$. Un corps flotte sur l'eau si $d < 1$.
7. Exercices corrigés
Exercice 1 — Calculer une masse volumique. Un cube d'arête $3{,}0\ \mathrm{cm}$ a une masse de $72{,}9\ \mathrm{g}$. Calculer sa masse volumique et identifier le métal.
Volume : $V = 3{,}0 \times 3{,}0 \times 3{,}0 = 27\ \mathrm{cm^3}$.
$\rho = \frac{72{,}9}{27} = 2{,}70\ \mathrm{g/cm^3}$
C'est la valeur de l'aluminium.
Exercice 2 — Calculer une masse. Quelle masse d'eau contient un aquarium de $60\ \mathrm{cm} \times 30\ \mathrm{cm} \times 40\ \mathrm{cm}$ rempli à ras bord ?
$V = 60 \times 30 \times 40 = 72\,000\ \mathrm{cm^3} = 72\ \mathrm{L}$.
$m = \rho \times V = 1{,}00 \times 72\,000 = 72\,000\ \mathrm{g} = 72\ \mathrm{kg}$
Un aquarium plein est lourd : c'est un vrai problème de meuble.
Exercice 3 — Calculer un volume. Quel volume occupent $2{,}0\ \mathrm{kg}$ d'huile ?
$m = 2000\ \mathrm{g}$ et $\rho = 0{,}92\ \mathrm{g/cm^3}$, donc
$V = \frac{m}{\rho} = \frac{2000}{0{,}92} \approx 2174\ \mathrm{cm^3} \approx 2{,}2\ \mathrm{L}$
Deux kilogrammes d'huile occupent plus de deux litres, puisque l'huile est moins dense que l'eau.
Exercice 4 — Déplacement d'eau. Une éprouvette contient $80\ \mathrm{mL}$ d'eau. On y plonge une bille métallique de masse $47{,}2\ \mathrm{g}$ ; le niveau monte à $86\ \mathrm{mL}$. De quel métal s'agit-il ?
$V = 86 - 80 = 6{,}0\ \mathrm{mL} = 6{,}0\ \mathrm{cm^3}$.
$\rho = \frac{47{,}2}{6{,}0} \approx 7{,}87\ \mathrm{g/cm^3}$
C'est du fer.
Exercice 5 — Flotte ou coule ? Un morceau de bois de chêne, un glaçon et un écrou en aluminium sont posés dans un seau d'eau. Que se passe-t-il pour chacun ?
Bois de chêne : $0{,}75 < 1{,}00$, il flotte. Glaçon : $0{,}92 < 1{,}00$, il flotte (en dépassant à peine). Aluminium : $2{,}70 > 1{,}00$, il coule.
Exercice 6 — Conversion et raisonnement. Le mercure a une masse volumique de $13{,}6\ \mathrm{g/cm^3}$. (a) Convertir en $\mathrm{kg/m^3}$. (b) Un morceau de plomb posé sur du mercure liquide flotte-t-il ?
(a) $13{,}6 \times 1000 = 13\,600\ \mathrm{kg/m^3}$.
(b) Le plomb vaut $11{,}30\ \mathrm{g/cm^3}$, le mercure $13{,}60$. Comme $11{,}30 < 13{,}60$, le plomb flotte sur le mercure — un résultat contraire à l'intuition, et pourtant vrai.
Exercice 7 — L'or de la couronne. Une couronne de masse $965\ \mathrm{g}$ déplace $62\ \mathrm{mL}$ d'eau. Est-elle en or pur ?
$\rho = \frac{965}{62} \approx 15{,}6\ \mathrm{g/cm^3}$
L'or pur vaut $19{,}30\ \mathrm{g/cm^3}$. La couronne est donc en alliage, pas en or pur. (Attention : la masse volumique dit avec certitude que ce n'est pas de l'or pur, mais elle ne dit pas de quel alliage il s'agit.)
L'essentiel du chapitre
- La masse volumique est le quotient $\rho = \dfrac{m}{V}$ ; elle caractérise la matière, pas l'échantillon.
- Trois relations : $\rho = \dfrac{m}{V}$, $m = \rho V$, $V = \dfrac{m}{\rho}$.
- $1\ \mathrm{g/cm^3} = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ ; l'eau vaut $1{,}00\ \mathrm{g/cm^3}$, soit $1000\ \mathrm{kg/m^3}$.
- Le volume d'un solide se mesure par déplacement d'eau : $V = V_2 - V_1$.
- Mesurer $\rho$ permet d'identifier un matériau — en écartant des candidats avec certitude, sans jamais prouver seule l'identité.
- Un corps flotte sur un liquide si sa masse volumique est inférieure à celle du liquide.