Physique-Chimie — 3ème
Grandeurs, unités et notation scientifique — Physique-Chimie Troisième (chapitre 1)
Grandeurs et unités en physique-chimie de troisième : mesurer une grandeur, unités du système international, préfixes et conversions, puissances de 10 et…
Par ProfBot
Grandeurs, unités et notation scientifique
Chapitre 1 — Les outils de l'année · Physique-chimie, classe de troisième
Ce chapitre n'est pas un chapitre du programme : c'est la boîte à outils des seize autres. Toute l'année, la physique-chimie va demander de mesurer, de convertir, d'écrire des nombres immenses ou minuscules et de les comparer. Le faire proprement s'apprend une fois, en début d'année, et sert ensuite partout : pour peser un métal au chapitre 2, pour écrire la taille d'un atome au chapitre 3, pour donner la distance d'une étoile au chapitre 7, pour calculer une facture d'électricité au chapitre 14.
Ce que dit le programme. Le programme de physique-chimie du cycle 4 ne consacre pas de partie séparée aux unités : il les mobilise dans chacune des quatre parties, en demandant de « mesurer des grandeurs physiques de manière directe ou indirecte », d'« utiliser des outils numériques » et d'« effectuer des conversions d'unités ». Les puissances de 10 et l'écriture scientifique, elles, sont au programme de mathématiques de troisième : ce chapitre les réutilise sur des grandeurs physiques réelles.
1. Grandeur, valeur, unité
En physique-chimie, on ne travaille jamais sur des nombres tout seuls.
Définition. Une grandeur est une propriété qu'on peut mesurer : une longueur, une masse, une durée, une température, une intensité électrique. Mesurer une grandeur, c'est la comparer à une unité choisie et dire combien de fois l'unité y tient.
Le résultat d'une mesure s'écrit donc toujours en deux morceaux : un nombre et une unité.
$\ell = 1{,}20\ \mathrm{m} \qquad m = 250\ \mathrm{g} \qquad t = 12\ \mathrm{s}$
Un nombre sans unité ne veut rien dire. Écrire « la masse vaut 250 » n'a aucun sens : 250 grammes, 250 kilogrammes et 250 tonnes ne sont pas la même chose. C'est la faute la plus coûteuse au brevet, et la plus facile à éviter.
Chaque grandeur a un symbole (la lettre qui la désigne) et une unité (avec son propre symbole). Voici celles de l'année.
| Grandeur | Symbole | Unité du système international | Symbole |
|---|---|---|---|
| Longueur, distance | $\ell$, $d$ | le mètre | $\mathrm{m}$ |
| Masse | $m$ | le kilogramme | $\mathrm{kg}$ |
| Durée | $t$ | la seconde | $\mathrm{s}$ |
| Volume | $V$ | le mètre cube (usuel : le litre) | $\mathrm{m^3}$, $\mathrm{L}$ |
| Masse volumique | $\rho$ | le kilogramme par mètre cube | $\mathrm{kg/m^3}$ |
| Vitesse | $v$ | le mètre par seconde | $\mathrm{m/s}$ |
| Force, poids | $F$, $P$ | le newton | $\mathrm{N}$ |
| Énergie | $E$ | le joule | $\mathrm{J}$ |
| Puissance | $P$ | le watt | $\mathrm{W}$ |
| Tension électrique | $U$ | le volt | $\mathrm{V}$ |
| Intensité du courant | $I$ | l'ampère | $\mathrm{A}$ |
| Résistance électrique | $R$ | l'ohm | $\Omega$ |
| Fréquence | $f$ | le hertz | $\mathrm{Hz}$ |
| Température | $\theta$ | le degré Celsius | $\mathrm{^\circ C}$ |
Attention à deux pièges de notation. La lettre $P$ désigne le poids (en newtons) dans la partie « mouvements » et la puissance (en watts) dans la partie « énergie » : c'est le contexte et l'unité qui tranchent. Et le symbole d'une unité ne prend jamais de s au pluriel : on écrit $12\ \mathrm{s}$, jamais « 12 ss ».
2. Les préfixes et les conversions
Un même mètre sert à mesurer l'épaisseur d'un cheveu et la distance Terre-Lune. Pour éviter d'écrire des files de zéros, on colle devant l'unité un préfixe qui la multiplie ou la divise par une puissance de 10.
| Préfixe | Symbole | Facteur | Exemple |
|---|---|---|---|
| giga | $\mathrm{G}$ | $\times 10^{9}$ | $1\ \mathrm{GW}$ = la puissance d'un réacteur nucléaire |
| méga | $\mathrm{M}$ | $\times 10^{6}$ | $1\ \mathrm{MJ}$ = un million de joules |
| kilo | $\mathrm{k}$ | $\times 10^{3}$ | $1\ \mathrm{km} = 1000\ \mathrm{m}$ |
| déci | $\mathrm{d}$ | $\times 10^{-1}$ | $1\ \mathrm{dm} = 0{,}1\ \mathrm{m}$ |
| centi | $\mathrm{c}$ | $\times 10^{-2}$ | $1\ \mathrm{cm} = 0{,}01\ \mathrm{m}$ |
| milli | $\mathrm{m}$ | $\times 10^{-3}$ | $1\ \mathrm{mA} = 0{,}001\ \mathrm{A}$ |
| micro | $\mathrm{\mu}$ | $\times 10^{-6}$ | $1\ \mathrm{\mu m}$ = un millième de millimètre |
| nano | $\mathrm{n}$ | $\times 10^{-9}$ | $1\ \mathrm{nm}$ = l'ordre de grandeur d'un atome |
Les préfixes marchent avec toutes les unités : un kilojoule, un mégahertz, un microampère se lisent tous de la même façon.
Chaque marche vers la droite multiplie par 10, chaque marche vers la gauche divise par 10. Pour convertir $2{,}5\ \mathrm{km}$ en mètres, on descend trois marches : $2{,}5 \times 10 \times 10 \times 10 = 2500\ \mathrm{m}$. Pour convertir $47\ \mathrm{cm}$ en mètres, on remonte deux marches : $47 \div 100 = 0{,}47\ \mathrm{m}$.
Le cas des volumes. Les unités de volume ne suivent pas le même rythme : comme un volume est une longueur au cube, passer d'une unité à la suivante multiplie par $10^3 = 1000$, et non par 10.
Le cube de $1\ \mathrm{dm}$ d'arête a pour volume $1\ \mathrm{dm^3}$. On l'appelle un litre. Comme son arête vaut $10\ \mathrm{cm}$, on peut le remplir avec $10 \times 10 \times 10 = 1000$ petits cubes de $1\ \mathrm{cm}$ d'arête : d'où $1\ \mathrm{L} = 1000\ \mathrm{cm^3}$, et $1\ \mathrm{mL} = 1\ \mathrm{cm^3}$. Cette dernière égalité servira toute l'année, dès qu'un volume se lira sur une éprouvette graduée.
Les trois égalités à retenir :
$1\ \mathrm{L} = 1\ \mathrm{dm^3} = 1000\ \mathrm{cm^3} \qquad 1\ \mathrm{mL} = 1\ \mathrm{cm^3} \qquad 1\ \mathrm{m^3} = 1000\ \mathrm{L}$
Les durées non plus ne se convertissent pas en base 10 : $1\ \mathrm{h} = 60\ \mathrm{min} = 3600\ \mathrm{s}$. Une durée de $2\ \mathrm{h}\ 30\ \mathrm{min}$ vaut $2{,}5\ \mathrm{h}$, et non « 2,30 h ».
3. Les puissances de 10 et l'écriture scientifique
La distance de la Terre au Soleil vaut environ $149\,600\,000\,000$ mètres. Le diamètre d'un atome vaut environ $0{,}000\,000\,000\,1$ mètre. Écrits ainsi, ces nombres sont illisibles et impossibles à comparer.
Rappel de mathématiques. Pour $n$ entier positif, $10^{n}$ est le nombre formé d'un 1 suivi de $n$ zéros, et $10^{-n} = \dfrac{1}{10^{n}}$ est le nombre formé de $n$ chiffres après la virgule, dont un 1 tout au bout.
$10^{3} = 1000 \qquad 10^{6} = 1\,000\,000 \qquad 10^{-2} = 0{,}01 \qquad 10^{-9} = 0{,}000\,000\,001$
Définition. Un nombre est écrit en écriture scientifique lorsqu'il est de la forme
$a \times 10^{n}$
où $n$ est un entier relatif et où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \leqslant a < 10$ : un seul chiffre non nul avant la virgule.
On place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis on compte de combien de rangs elle a bougé : ici 11 rangs vers la gauche, donc $\times 10^{11}$. Le contrôle est immédiat : $1{,}496 \times 10^{11}$ se relit « 1,496 suivi de 11 rangs », c'est-à-dire 149,6 milliards.
Deux exemples dans les deux sens :
$149\,600\,000\,000\ \mathrm{m} = 1{,}496 \times 10^{11}\ \mathrm{m} \qquad 0{,}000\,000\,000\,1\ \mathrm{m} = 1 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$
La règle du signe de l'exposant : si le nombre de départ est grand (supérieur à 10), l'exposant est positif ; s'il est petit (inférieur à 1), l'exposant est négatif. Un exposant négatif ne signale jamais un nombre négatif : $10^{-10}$ est un tout petit nombre positif.
Calculer avec les puissances de 10. Deux règles suffisent, et elles serviront à chaque calcul de l'année :
$10^{a} \times 10^{b} = 10^{a+b} \qquad \frac{10^{a}}{10^{b}} = 10^{a-b}$
Exemple. Combien de fois un atome ($10^{-10}\ \mathrm{m}$) est-il plus petit qu'un cheveu ($10^{-4}\ \mathrm{m}$) ?
$\frac{10^{-4}}{10^{-10}} = 10^{-4-(-10)} = 10^{6}$
Un million de fois. On vient de comparer deux objets sans jamais écrire un seul zéro.
4. Les ordres de grandeur
Comparer des nombres énormes ou minuscules ne demande pas de les connaître précisément : il suffit de savoir la puissance de 10 la plus proche.
Définition. L'ordre de grandeur d'une valeur est la puissance de 10 la plus proche de cette valeur. On l'obtient en écrivant la valeur en écriture scientifique $a \times 10^{n}$, puis :
— si $a < 5$, l'ordre de grandeur est $10^{n}$ ;
— si $a \geqslant 5$, l'ordre de grandeur est $10^{n+1}$.
Ainsi la distance Terre-Soleil, $1{,}496 \times 10^{11}\ \mathrm{m}$, a pour ordre de grandeur $10^{11}\ \mathrm{m}$, tandis qu'une masse de $7{,}2 \times 10^{-3}\ \mathrm{kg}$ a pour ordre de grandeur $10^{-2}\ \mathrm{kg}$.
Sur cet axe, chaque graduation vaut mille fois la précédente : c'est le seul moyen de faire tenir sur une même image le noyau d'un atome et une galaxie. On y lit d'un coup d'œil ce qu'aucun tableau ne montre : entre le noyau d'un atome ($10^{-15}\ \mathrm{m}$) et la Voie lactée ($10^{21}\ \mathrm{m}$), il y a 36 crans de puissance de 10. Aucune règle graduée ne peut couvrir cela ; l'écriture scientifique, si. Ce même axe reviendra au chapitre 7, sur l'organisation de la matière dans l'Univers.
5. Mesurer : une série de mesures ne donne pas un seul nombre
Faites mesurer la longueur d'une table par quinze élèves avec le même double décimètre : vous obtiendrez quinze résultats différents. Ce n'est pas une erreur de leur part, c'est la nature même de la mesure.
Voici la série obtenue, en centimètres :
| 120,2 | 120,5 | 120,0 | 120,4 | 120,3 | 119,8 | 120,6 | 120,1 |
| 120,3 | 120,2 | 119,9 | 120,4 | 120,2 | 120,5 | 120,1 |
Les quinze résultats se serrent autour d'une même zone, sans jamais coïncider exactement. Deux nombres résument la série : sa moyenne, qui dit autour de quelle valeur elle se groupe, et son étendue, qui dit sur quelle largeur elle s'étale.
La moyenne s'obtient en additionnant les quinze valeurs et en divisant par 15 :
$\overline{\ell} = \frac{1803{,}5}{15} \approx 120{,}23\ \mathrm{cm}$
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :
$e = 120{,}6 - 119{,}8 = 0{,}8\ \mathrm{cm}$
Ce qu'il faut en conclure. Le résultat de cette mesure n'est pas « 120,2333333 cm » — les décimales que la calculatrice affiche au-delà du dixième n'ont aucun sens, puisque les mesures elles-mêmes ne s'accordent qu'au demi-centimètre près. On annonce donc $\overline{\ell} \approx 120{,}2\ \mathrm{cm}$, avec une dispersion de l'ordre du demi-centimètre. Donner plus de chiffres que la mesure n'en garantit, c'est prétendre savoir ce qu'on ne sait pas.
D'où vient la dispersion ? De trois sources, qu'on peut réduire mais jamais supprimer : l'instrument (un double décimètre gradué au millimètre ne peut pas faire mieux que le millimètre), l'expérimentateur (l'œil qui vise, la règle qui glisse) et l'objet lui-même (une table n'est pas parfaitement rectangulaire). Mesurer plusieurs fois et faire la moyenne est la parade la plus simple.
6. Écrire un résultat proprement
Quatre habitudes, à prendre dès septembre, qui font gagner des points toute l'année.
- La formule d'abord, les nombres ensuite. On écrit la relation littérale, puis on remplace, puis on calcule. Une erreur de calcul sur une formule juste coûte beaucoup moins qu'une formule fausse.
- Les unités partout. Dans le calcul comme dans le résultat.
- Toutes les grandeurs dans les unités qui vont ensemble. Un calcul mélangeant des kilomètres et des secondes donne un résultat faux sans prévenir. On convertit avant de calculer.
- Un résultat arrondi raisonnablement, avec le signe $\approx$ quand on arrondit, et le signe $=$ quand la valeur est exacte.
Exemple complet. Un TGV parcourt $d = 240\ \mathrm{km}$ en $t = 1\ \mathrm{h}\ 20\ \mathrm{min}$. Quelle est sa vitesse moyenne, en mètres par seconde ?
On convertit d'abord : $d = 240\ \mathrm{km} = 240\,000\ \mathrm{m}$ et $t = 1\ \mathrm{h}\ 20\ \mathrm{min} = 80\ \mathrm{min} = 80 \times 60 = 4800\ \mathrm{s}$.
$v = \frac{d}{t} = \frac{240\,000}{4800} = 50\ \mathrm{m/s}$
Et pour repasser en kilomètres par heure, on multiplie par $3{,}6$ : $50 \times 3{,}6 = 180\ \mathrm{km/h}$. Ce facteur $3{,}6$ vient de $\dfrac{3600\ \mathrm{s}}{1000\ \mathrm{m}}$ ; il reviendra à chaque exercice de vitesse de l'année.
7. Exercices corrigés
Exercice 1 — Conversions. Convertir : (a) $3{,}2\ \mathrm{km}$ en mètres ; (b) $45\ \mathrm{mL}$ en litres ; (c) $0{,}75\ \mathrm{L}$ en centimètres cubes ; (d) $2\ \mathrm{h}\ 15\ \mathrm{min}$ en secondes.
(a) On descend trois marches : $3{,}2 \times 1000 = 3200\ \mathrm{m}$.
(b) $1\ \mathrm{L} = 1000\ \mathrm{mL}$, donc $45 \div 1000 = 0{,}045\ \mathrm{L}$.
(c) $1\ \mathrm{L} = 1000\ \mathrm{cm^3}$, donc $0{,}75 \times 1000 = 750\ \mathrm{cm^3}$.
(d) $2\ \mathrm{h} = 7200\ \mathrm{s}$ et $15\ \mathrm{min} = 900\ \mathrm{s}$, d'où $7200 + 900 = 8100\ \mathrm{s}$.
Exercice 2 — Écriture scientifique. Écrire en écriture scientifique : (a) $38\,000$ ; (b) $0{,}000\,45$ ; (c) $6\,371\,000\ \mathrm{m}$ (le rayon de la Terre) ; (d) $0{,}000\,000\,000\,15\ \mathrm{m}$.
(a) $3{,}8 \times 10^{4}$ — la virgule recule de 4 rangs.
(b) $4{,}5 \times 10^{-4}$ — elle avance de 4 rangs, donc l'exposant est négatif.
(c) $6{,}371 \times 10^{6}\ \mathrm{m}$.
(d) $1{,}5 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$.
Exercice 3 — Comparer deux tailles. Le diamètre d'un atome vaut environ $10^{-10}\ \mathrm{m}$, celui de son noyau environ $10^{-15}\ \mathrm{m}$. Combien de fois le noyau est-il plus petit que l'atome ?
$\frac{10^{-10}}{10^{-15}} = 10^{-10-(-15)} = 10^{5}$
Le noyau est cent mille fois plus petit que l'atome. Si le noyau était une bille de $1\ \mathrm{cm}$, l'atome mesurerait $10^{5}\ \mathrm{cm}$, soit $1\ \mathrm{km}$.
Exercice 4 — Ordre de grandeur. Une goutte d'eau a une masse d'environ $0{,}05\ \mathrm{g}$. Donner son ordre de grandeur en kilogrammes.
$0{,}05\ \mathrm{g} = 0{,}000\,05\ \mathrm{kg} = 5 \times 10^{-5}\ \mathrm{kg}$. Comme $a = 5 \geqslant 5$, l'ordre de grandeur est $10^{-4}\ \mathrm{kg}$.
Exercice 5 — Une série de mesures. Cinq élèves mesurent la durée de chute d'une bille : $0{,}42\ \mathrm{s}$ ; $0{,}45\ \mathrm{s}$ ; $0{,}44\ \mathrm{s}$ ; $0{,}41\ \mathrm{s}$ ; $0{,}43\ \mathrm{s}$. Calculer la moyenne et l'étendue. Que vaut la durée de chute ?
Somme : $0{,}42 + 0{,}45 + 0{,}44 + 0{,}41 + 0{,}43 = 2{,}15\ \mathrm{s}$, donc
$\overline{t} = \frac{2{,}15}{5} = 0{,}43\ \mathrm{s}$
Étendue : $0{,}45 - 0{,}41 = 0{,}04\ \mathrm{s}$. On annonce $t \approx 0{,}43\ \mathrm{s}$, à quelques centièmes de seconde près — inutile d'écrire $0{,}430\,00\ \mathrm{s}$.
Exercice 6 — Un calcul complet. Un coureur parcourt $12\ \mathrm{km}$ en $50\ \mathrm{min}$. Calculer sa vitesse moyenne en $\mathrm{m/s}$, puis en $\mathrm{km/h}$.
Conversions : $d = 12\,000\ \mathrm{m}$ et $t = 50 \times 60 = 3000\ \mathrm{s}$.
$v = \frac{d}{t} = \frac{12\,000}{3000} = 4\ \mathrm{m/s}$
Puis $4 \times 3{,}6 = 14{,}4\ \mathrm{km/h}$. (Contrôle : $12\ \mathrm{km}$ en $50\ \mathrm{min}$, c'est un peu plus de $14\ \mathrm{km}$ en une heure. Cohérent.)
L'essentiel du chapitre
- Une mesure s'écrit toujours avec un nombre et une unité.
- Les préfixes multiplient l'unité par une puissance de 10 : $\mathrm{k} = 10^{3}$, $\mathrm{m} = 10^{-3}$, $\mathrm{\mu} = 10^{-6}$, $\mathrm{n} = 10^{-9}$.
- $1\ \mathrm{L} = 1\ \mathrm{dm^3} = 1000\ \mathrm{cm^3}$ et $1\ \mathrm{mL} = 1\ \mathrm{cm^3}$ ; $1\ \mathrm{h} = 3600\ \mathrm{s}$.
- L'écriture scientifique est $a \times 10^{n}$ avec $1 \leqslant a < 10$ ; l'exposant est positif pour les grands nombres, négatif pour les petits.
- $10^{a} \times 10^{b} = 10^{a+b}$ et $\dfrac{10^{a}}{10^{b}} = 10^{a-b}$ : c'est ainsi qu'on compare deux tailles.
- Une série de mesures se résume par sa moyenne et son étendue ; on n'annonce jamais plus de chiffres que la mesure n'en garantit.