Physique-Chimie — Seconde
Compter les entités : la mole — Physique-Chimie Seconde (chapitre 7)
La mole en seconde : masse d'une entité à partir de sa formule brute, nombre d'entités dans un échantillon, définition de la mole et constante d'Avogadro,…
Par ProfBot
Compter les entités : la mole
Chapitre 7 — Constitution et transformations de la matière · Seconde générale et technologique
Un chimiste pèse des grammes, mais les réactions se font entité par entité : une molécule de méthane réagit avec deux molécules de dioxygène, pas avec « deux grammes ». Il faut donc un pont entre ce qu'on mesure — une masse — et ce qui compte vraiment — un nombre d'entités.
Ce pont existe, il tient en deux formules, et il repose sur un nombre unique : la constante d'Avogadro.
Au programme officiel. Compter les entités dans un échantillon de matière ; nombre d'entités dans un échantillon ; définition de la mole ; quantité de matière dans un échantillon. Déterminer la masse d'une entité à partir de sa formule brute et de la masse des atomes qui la composent. Déterminer le nombre d'entités et la quantité de matière (en mol) d'une espèce dans une masse d'échantillon.
1. La masse d'une entité
La masse d'une molécule est la somme des masses des atomes qui la composent. Et la masse d'un atome, on le sait depuis le chapitre 4, est celle de son noyau : à peu près $A$ fois la masse d'un nucléon.
| Atome | $\mathrm{H}$ | $\mathrm{C}$ | $\mathrm{N}$ | $\mathrm{O}$ | $\mathrm{Na}$ | $\mathrm{S}$ | $\mathrm{Cl}$ | $\mathrm{Fe}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Masse ($10^{-26}\ \mathrm{kg}$) | 0,167 | 1,99 | 2,33 | 2,66 | 3,82 | 5,31 | 5,89 | 9,29 |
Pour la molécule d'eau $\mathrm{H_2O}$ : deux atomes d'hydrogène et un atome d'oxygène. $m(\mathrm{H_2O}) = 2 \times 0{,}167\times10^{-26} + 2{,}66\times10^{-26} = 2{,}99\times10^{-26}\ \mathrm{kg}$
C'est un nombre inutilisable tel quel : trois cent millièmes de milliardième de milliardième de kilogramme. Aucune balance ne le mesurera jamais. Mais il permet de compter.
2. Compter les entités d'un échantillon
Si toutes les entités ont la même masse, alors leur nombre s'obtient par une simple division :
Nombre d'entités.
$N = \frac{m_{\text{échantillon}}}{m_{\text{entité}}}$
où les deux masses sont exprimées dans la même unité.
Dans un gramme d'eau, il y a donc
$N = \frac{1{,}00\times10^{-3}}{2{,}99\times10^{-26}} = 3{,}34\times10^{22}\ \text{molécules}$
Trente-trois mille milliards de milliards de molécules dans un gramme. Ce nombre est le vrai problème : il est trop grand pour être parlant, et il change à chaque calcul. D'où l'idée de compter les entités par paquets, comme on compte les œufs par douzaines.
3. La mole
Définition (SI, depuis 2019). Une mole est la quantité de matière d'un système contenant exactement
$N_A = 6{,}022\,140\,76\times10^{23}\ \text{entités.}$
Ce nombre $N_A$ s'appelle la constante d'Avogadro. En exercice, on utilise la valeur arrondie $N_A = 6{,}02\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$.
La mole n'est donc rien d'autre qu'un paquet, comme la douzaine ou le millier — un paquet gigantesque, choisi pour que les masses correspondantes soient des grammes plutôt que des $10^{-26}$ kilogrammes.
Une mole de grains de riz — $6{,}02\times10^{23}$ grains, à raison de $20\ \mathrm{mm^3}$ par grain — représenterait un volume de $1{,}2\times10^{16}\ \mathrm{m^3}$. Étalée sur la France métropolitaine ($5{,}5\times10^{11}\ \mathrm{m^2}$), cette montagne de riz ferait 22 kilomètres d'épaisseur. Une mole n'est pas un grand nombre : c'est un nombre inimaginable — et pourtant une cuillère d'eau en contient déjà une.
Quantité de matière. La quantité de matière $n$ d'un échantillon est le nombre de moles d'entités qu'il contient :
$n = \frac{N}{N_A}$
Elle s'exprime en moles ($\mathrm{mol}$). C'est une grandeur physique à part entière, comme une masse ou une longueur.
Reprenons le gramme d'eau : $n = \dfrac{3{,}34\times10^{22}}{6{,}02\times10^{23}} = 5{,}55\times10^{-2}\ \mathrm{mol}$, soit environ un vingtième de mole.
Autrement dit : une mole d'eau pèse $18{,}0\ \mathrm{g}$, ce qui tient dans une cuillère à soupe. C'est tout l'intérêt de la mole — ramener l'échelle des entités à celle de la paillasse.
4. La chaîne de calcul
Trois grandeurs, deux formules, et tout se déduit dans les deux sens.
De gauche à droite, on compte ce qu'on a pesé ; de droite à gauche, on prépare la masse qui correspond à la quantité voulue. C'est cette seconde lecture qu'on utilise au laboratoire : « il me faut $0{,}25\ \mathrm{mol}$ de sel, quelle masse dois-je peser ? »
Dans le sens direct (peser puis compter) : $m \;\longrightarrow\; N = \frac{m}{m_{\text{entité}}} \;\longrightarrow\; n = \frac{N}{N_A}$
Dans le sens inverse (préparer une quantité voulue) : $n \;\longrightarrow\; N = n \times N_A \;\longrightarrow\; m = N \times m_{\text{entité}}$
Le contrôle qui sauve. Une quantité de matière de laboratoire se compte en dixièmes ou en centièmes de mole ; un nombre d'entités, en $10^{22}$ ou $10^{23}$. Si vous trouvez $n = 3\times10^{22}\ \mathrm{mol}$, vous avez confondu $N$ et $n$ — c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
5. À masse égale, tous les échantillons ne se valent pas
Une conséquence directe des deux formules, et une question d'examen très fréquente : à masse égale, l'échantillon fait d'entités légères contient plus d'entités.
Comparons $1{,}00\ \mathrm{g}$ d'eau et $1{,}00\ \mathrm{g}$ de dioxyde de carbone.
| Eau $\mathrm{H_2O}$ | Dioxyde de carbone $\mathrm{CO_2}$ | |
|---|---|---|
| Masse d'une entité | $2{,}99\times10^{-26}\ \mathrm{kg}$ | $7{,}31\times10^{-26}\ \mathrm{kg}$ |
| Nombre d'entités dans $1{,}00\ \mathrm{g}$ | $3{,}34\times10^{22}$ | $1{,}37\times10^{22}$ |
| Quantité de matière | $5{,}55\times10^{-2}\ \mathrm{mol}$ | $2{,}27\times10^{-2}\ \mathrm{mol}$ |
Le gramme d'eau contient environ 2,4 fois plus de molécules que le gramme de dioxyde de carbone — exactement le rapport des masses des deux entités. La masse, seule, ne dit donc rien du nombre d'entités : c'est pour cela qu'on convertit systématiquement en quantité de matière avant de raisonner sur une réaction (chapitre 9).
Le réflexe à prendre. Devant une question du type « lequel contient le plus de… ? », on ne compare jamais des masses : on convertit d'abord chaque masse en quantité de matière, puis on compare des moles.
Exercices corrigés
Exercice 1 — Masse d'une molécule
Calculer la masse d'une molécule de dioxyde de carbone $\mathrm{CO_2}$, puis celle d'une molécule de méthane $\mathrm{CH_4}$.
Correction. $m(\mathrm{CO_2}) = 1{,}99\times10^{-26} + 2 \times 2{,}66\times10^{-26} = 7{,}31\times10^{-26}\ \mathrm{kg}$ $m(\mathrm{CH_4}) = 1{,}99\times10^{-26} + 4 \times 0{,}167\times10^{-26} = 2{,}66\times10^{-26}\ \mathrm{kg}$ On remarque au passage qu'une molécule de méthane a presque la même masse qu'un atome d'oxygène : les masses des atomes légers ne sont pas négligeables quand ils sont nombreux.
Exercice 2 — Compter dans un échantillon
Un flacon contient $10{,}0\ \mathrm{g}$ de dioxyde de carbone.
a. Combien de molécules contient-il ? b. Quelle est la quantité de matière correspondante ?
Correction. a. $N = \dfrac{m}{m(\mathrm{CO_2})} = \dfrac{10{,}0\times10^{-3}}{7{,}31\times10^{-26}} = 1{,}37\times10^{23}$ molécules. b. $n = \dfrac{N}{N_A} = \dfrac{1{,}37\times10^{23}}{6{,}02\times10^{23}} = 0{,}227\ \mathrm{mol}$. Le résultat est de l'ordre du dixième de mole : c'est bien l'ordre de grandeur d'un échantillon de laboratoire.
Exercice 3 — Un comprimé de vitamine C
Un comprimé contient $500\ \mathrm{mg}$ d'acide ascorbique, de formule $\mathrm{C_6H_8O_6}$.
a. Calculer la masse d'une molécule d'acide ascorbique. b. Combien de molécules le comprimé contient-il ? c. Quelle quantité de matière cela représente-t-il ?
Correction. a. $m = 6 \times 1{,}99\times10^{-26} + 8 \times 0{,}167\times10^{-26} + 6 \times 2{,}66\times10^{-26} = 2{,}92\times10^{-25}\ \mathrm{kg}$. b. $N = \dfrac{500\times10^{-6}}{2{,}92\times10^{-25}} = 1{,}71\times10^{21}$ molécules. c. $n = \dfrac{1{,}71\times10^{21}}{6{,}02\times10^{23}} = 2{,}84\times10^{-3}\ \mathrm{mol}$, soit environ $2{,}8\ \mathrm{mmol}$.
Exercice 4 — Préparer une masse
On veut prélever $0{,}250\ \mathrm{mol}$ de chlorure de sodium $\mathrm{NaCl}$.
a. Combien d'entités cela représente-t-il ? b. Quelle masse faut-il peser ? c. Cette masse est-elle compatible avec une balance de paillasse ?
Correction. a. $N = n \times N_A = 0{,}250 \times 6{,}02\times10^{23} = 1{,}505\times10^{23}$ entités. b. La masse d'une entité $\mathrm{NaCl}$ vaut $3{,}82\times10^{-26} + 5{,}89\times10^{-26} = 9{,}71\times10^{-26}\ \mathrm{kg}$, d'où $m = N \times m_{\text{entité}} = 1{,}505\times10^{23} \times 9{,}71\times10^{-26} = 1{,}46\times10^{-2}\ \mathrm{kg} = 14{,}6\ \mathrm{g}$ c. Tout à fait : $14{,}6\ \mathrm{g}$ se pèsent sans difficulté au centigramme près sur une balance de paillasse. C'est exactement ce que la mole a été conçue pour permettre.
Exercice 5 — Comparer deux échantillons
On dispose de $2{,}0\ \mathrm{g}$ de méthane $\mathrm{CH_4}$ et de $2{,}0\ \mathrm{g}$ de dioxyde de carbone $\mathrm{CO_2}$.
a. Sans calcul, lequel contient le plus de molécules ? Justifier. b. Vérifier par le calcul des quantités de matière.
Correction. a. À masse égale, l'échantillon dont les entités sont les plus légères en contient le plus. Or $m(\mathrm{CH_4}) = 2{,}66\times10^{-26}\ \mathrm{kg}$ est inférieure à $m(\mathrm{CO_2}) = 7{,}31\times10^{-26}\ \mathrm{kg}$ : c'est le méthane. b. $N(\mathrm{CH_4}) = \dfrac{2{,}0\times10^{-3}}{2{,}66\times10^{-26}} = 7{,}5\times10^{22}$, soit $n = 0{,}125\ \mathrm{mol}$ ; $N(\mathrm{CO_2}) = \dfrac{2{,}0\times10^{-3}}{7{,}31\times10^{-26}} = 2{,}7\times10^{22}$, soit $n = 4{,}54\times10^{-2}\ \mathrm{mol}$. Le méthane l'emporte d'un facteur $2{,}75$ — le rapport des masses des deux molécules.
L'essentiel
- La masse d'une entité est la somme des masses des atomes de sa formule brute.
- $N = \dfrac{m_{\text{échantillon}}}{m_{\text{entité}}}$ donne le nombre d'entités d'un échantillon.
- Une mole contient exactement $N_A = 6{,}022\,140\,76\times10^{23}$ entités ; on utilise $6{,}02\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$.
- La quantité de matière vaut $n = \dfrac{N}{N_A}$, en moles.
- Les deux formules se lisent dans les deux sens : compter ce qu'on a pesé, ou peser ce qu'on veut compter.
- Ordre de grandeur : une quantité de laboratoire fait des dixièmes de mole, soit des $10^{22}$ entités.