Mathématiques — Première
Fonctions — Généralités — Première Maths
Domaine de définition, parité, monotonie, image, antécédent et opérations sur les fonctions.
Par ProfBot
Fonctions — Généralités — Première Mathématiques
🎯 Objectif : Maîtriser les concepts fondamentaux sur les fonctions.
1. Domaine de définition
Le domaine de définition Df est l'ensemble des valeurs pour lesquelles f(x) est défini.
Restrictions courantes :
- Division : dénominateur ≠ 0
- Racine carrée : expression ≥ 0
- Logarithme : argument > 0
Exemples :
f(x) = 1/(x-2) → Df = ℝ\{2}
g(x) = √(3x-1) → 3x-1 ≥ 0 → Df = [1/3 ; +∞[
h(x) = √(x)/( x²-1) → x ≥ 0 et x ≠ ±1 → Df = [0;1[ ∪ ]1;+∞[
2. Image et antécédent
- Image de a par f : c'est f(a) (on connaît x, on calcule y)
- Antécédent de b par f : tout x tel que f(x) = b (on connaît y, on cherche x)
Sur la courbe :
- Image de a : ordonnée du point d'abscisse a
- Antécédent de b : abscisse(s) du (des) point(s) d'ordonnée b
3. Parité
Fonction paire : f(-x) = f(x) pour tout x du domaine symétrique → Courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
Fonction impaire : f(-x) = -f(x) pour tout x du domaine symétrique → Courbe symétrique par rapport à l'origine O
Exemples :
- x² : paire | x³ : impaire
- cos(x) : paire | sin(x) : impaire
4. Monotonie
Croissante sur I : a < b ⟹ f(a) < f(b)
Décroissante sur I : a < b ⟹ f(a) > f(b)
Méthode algébrique : étudier le signe de f(b) - f(a) ou f'(x).
Opérations avec la monotonie :
- Si f et g croissantes → f + g croissante
- Si f croissante et g décroissante → f + g ? (signe inconnu)
5. Extremums
Maximum global sur I : valeur M telle que f(x) ≤ M pour tout x ∈ I Minimum global sur I : valeur m telle que f(x) ≥ m pour tout x ∈ I
Maximum local en a : f(a) ≥ f(x) pour x proche de a Minimum local en a : f(a) ≤ f(x) pour x proche de a
6. Fonction composée
La composée de g par f (ou "f rond g") :
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
Ordre des opérations : d'abord g, puis f.
Exemple : f(x) = x² et g(x) = x+1
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)²
(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x²+1
⚠️ En général, f ∘ g ≠ g ∘ f !
7. Lecture graphique
Sur la courbe de f :
- Variations : portions montantes (↗) ou descendantes (↘)
- Maximum : point le plus haut
- Passage par zéro : intersection avec l'axe des x → zéros de f
- f(a) = b : le point (a, b) est sur la courbe
8. Comparaison de fonctions
f ≥ g sur I signifie : pour tout x ∈ I, f(x) ≥ g(x)
Sur le graphe : la courbe de f est au-dessus de la courbe de g.
Méthode : étudier le signe de f(x) - g(x).
📝 Exercices
- Trouver Df pour
f(x) = √(2-x)/(x+3). - f paire ou impaire ?
f(x) = x⁴ - 2x²;g(x) = x³ + x - f(x) = 2x+1, g(x) = x². Calculer (f∘g)(3) et (g∘f)(-1).
- Sur la courbe, lire f(2), f(-1), les antécédents de 0.
- Comparer x² et x sur [0;1] et sur [1;+∞[.
✅ À retenir
Domaine : dénominateur≠0, racine≥0, ln>0
Paire : f(-x)=f(x) → axe Oy
Impaire : f(-x)=-f(x) → symétrie O
Composée : (f∘g)(x)=f(g(x)), appliquer g d'abord
Image : f(a) Antécédent : f(x)=b → trouver x