Physique-Chimie — Seconde

Mesure et incertitudes — Physique-Chimie Seconde (chapitre 1)

Mesure et incertitudes en seconde générale et technologique : variabilité d'une série de mesures, histogramme, moyenne et écart-type, incertitude-type,…

Par ProfBot

Mesure et incertitudes

Chapitre 1 — Thème transversal · Seconde générale et technologique

Vingt-quatre binômes mesurent le même volume, avec la même éprouvette, dans la même salle. Ils obtiennent vingt-quatre nombres différents. Aucun n'a mal travaillé : c'est la mesure elle-même qui varie.

Ce chapitre apprend à en tirer parti plutôt qu'à s'en désoler. Une mesure isolée ne dit presque rien ; une série de mesures dit à la fois une valeur et la confiance qu'on peut lui accorder. C'est ce couple — la valeur et son incertitude — que la physique-chimie appelle un résultat de mesure, et c'est lui qu'on écrira toute l'année.

Au programme officiel. Variabilité de la mesure d'une grandeur physique ; incertitude-type ; écriture du résultat ; valeur de référence. Exploiter une série de mesures indépendantes d'une grandeur physique : histogramme, moyenne et écart-type. Discuter de l'influence de l'instrument de mesure et du protocole. Évaluer qualitativement la dispersion d'une série de mesures indépendantes. Expliquer qualitativement la signification d'une incertitude-type et l'évaluer par une approche statistique. Écrire, avec un nombre adapté de chiffres significatifs, le résultat d'une mesure. Comparer qualitativement un résultat à une valeur de référence.

Capacité numérique : représenter l'histogramme associé à une série de mesures à l'aide d'un tableur.

1. Pourquoi une mesure varie

Mesurer, ce n'est pas lire un nombre gravé dans la nature : c'est faire interagir un instrument, un protocole et un opérateur avec l'objet étudié. Chacun des trois apporte sa part de variation.

• L'instrument. Une éprouvette graduée porte des traits tous les millilitres : entre deux traits, on estime. Deux personnes n'estiment pas pareil.
• Le protocole. Lire le bas du ménisque à hauteur d'œil, ou de biais, ne donne pas le même volume. Un protocole mal défini fabrique de la dispersion.
• L'opérateur. Le temps de réaction au chronomètre, la façon de tenir la règle, l'attention en fin de séance : tout cela varie d'une mesure à l'autre.
• La grandeur elle-même peut fluctuer : la température d'une salle n'est pas la même à 8 h et à 11 h.

Vocabulaire. On appelle valeur mesurée le nombre que l'on retient à l'issue de la mesure. On ne connaîtra jamais la « vraie » valeur de la grandeur : on l'encadre, on ne l'atteint pas.

Deux défauts très différents peuvent affecter une série de mesures, et il ne faut pas les confondre.

La cible est la valeur de référence, chaque impact une mesure. Une série fidèle est resserrée : ses mesures se répètent. Une série juste est centrée sur la référence. Les deux qualités sont indépendantes — une série peut être très resserrée et complètement décalée (cible en haut à droite), ce qui est le cas le plus dangereux : la répétabilité donne une fausse impression de sûreté.

Un défaut de fidélité se voit dans la dispersion des mesures ; c'est lui que ce chapitre apprend à chiffrer. Un défaut de justesse, lui, ne se voit pas dans la série : il ne se détecte qu'en comparant à une valeur de référence (§ 6).

2. Une série de mesures : l'histogramme

Vingt-quatre binômes prélèvent $100\ \mathrm{mL}$ d'eau à l'éprouvette graduée, puis pèsent le liquide prélevé pour en déduire le volume réellement délivré. Voici les vingt-quatre valeurs, en millilitres, rangées dans l'ordre croissant :

Une liste de vingt-quatre nombres ne se lit pas. On la regroupe par classes de même largeur et on compte les effectifs : c'est l'histogramme.

Les mesures sont regroupées en classes de $2\ \mathrm{mL}$. La forme obtenue est typique d'une série de mesures indépendantes : les valeurs s'accumulent au centre et se raréfient sur les bords. L'histogramme montre d'un coup d'œil où se situent les mesures et sur quelle largeur elles s'étalent — les deux questions du chapitre.

Attention à la largeur des classes. Des classes trop larges écrasent la forme (tout tombe dans deux barres) ; trop étroites, elles la hachent (des barres de hauteur 1 partout). Une règle commode : viser entre 4 et 8 classes pour une vingtaine de mesures.

3. La valeur mesurée : la moyenne

Puisque les mesures se répartissent autour d'un centre, c'est ce centre qu'on retient comme valeur mesurée.

Définition. La moyenne d'une série de $N$ mesures $x_1, x_2, \ldots, x_N$ est

$\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N}$

Sur notre série de $N = 24$ mesures, la somme vaut $2391{,}1\ \mathrm{mL}$, d'où

$\overline{V} = \frac{2391{,}1}{24} = 99{,}629\ldots \approx 99{,}6\ \mathrm{mL}$

Moyenner n'est pas un artifice de présentation : les écarts se compensent partiellement, les uns étant en trop, les autres en moins. Une moyenne de vingt-quatre mesures est donc un résultat plus sûr qu'une mesure isolée — et le § 5 dira précisément de combien.

4. La dispersion : l'écart-type

La moyenne ne dit rien de la largeur de la série. Deux séries de même moyenne peuvent être l'une resserrée, l'autre étalée ; elles n'ont pas la même valeur.

Définition. L'écart-type $s$ mesure l'étalement des valeurs autour de leur moyenne. C'est, à peu de chose près, l'écart typique entre une mesure et la moyenne. Il s'exprime dans la même unité que la grandeur mesurée.

On ne le calcule pas à la main : la touche $\sigma_{n-1}$ de la calculatrice, ou la fonction ECARTYPE.STANDARD d'un tableur, le donne directement. Sur notre série :

$s = 1{,}8\ \mathrm{mL}$

Ce nombre s'interprète sans formule : prélever $100\ \mathrm{mL}$ à l'éprouvette, c'est se tromper de $2\ \mathrm{mL}$ environ, dans un sens ou dans l'autre. C'est la performance de l'instrument, pas la maladresse des élèves.

Trois repères utiles. Quand la dispersion résulte d'un grand nombre de petites causes indépendantes — le cas le plus fréquent au laboratoire —, la série prend une forme « en cloche » : environ deux tiers des valeurs tombent alors à moins d'un écart-type de la moyenne, et environ 95 % à moins de deux écarts-types. Sur notre série, l'intervalle $[97{,}8 ; 101{,}5]$ (soit $\overline{V} \pm s$) contient 15 des 24 mesures, soit 62,5 % : l'ordre de grandeur annoncé est bien respecté.

5. L'incertitude-type

L'écart-type décrit la série déjà faite. Ce qui intéresse le physicien, c'est ce qu'il peut annoncer sur la grandeur : c'est le rôle de l'incertitude-type, notée $u$.

Définition. L'incertitude-type $u(x)$ associée à une valeur mesurée est une estimation, sous forme d'un écart-type, de la variabilité de cette valeur : elle chiffre l'étendue des valeurs qu'on peut raisonnablement attribuer à la grandeur mesurée. Elle s'exprime dans l'unité de la grandeur, et elle est toujours positive.

Deux situations, deux valeurs — c'est le point le plus souvent confondu.

a. On ne garde qu'une seule mesure. Sa variabilité potentielle est celle qu'on vient d'observer d'une mesure à l'autre : l'incertitude-type est l'écart-type de la série. $u(V) = s = 1{,}8\ \mathrm{mL}$

b. On garde la moyenne des $N$ mesures. La moyenne, elle, fluctue moins que les mesures individuelles, puisque les écarts s'y compensent. Son incertitude-type est plus petite, dans un rapport $\sqrt{N}$ : $u(\overline{V}) = \frac{s}{\sqrt{N}} = \frac{1{,}8}{\sqrt{24}} = 0{,}37 \approx 0{,}4\ \mathrm{mL}$

Ce que gagne la répétition. Passer de $1{,}8$ à $0{,}4\ \mathrm{mL}$, c'est diviser l'incertitude par près de 5 — au prix de 24 mesures. Mais le $\sqrt{N}$ est impitoyable : pour diviser l'incertitude par 2 encore, il faudrait 96 mesures. Répéter améliore, mais de moins en moins vite. Quand la dispersion vient de l'instrument, il vaut mieux changer d'instrument que multiplier les mesures.

6. Écrire le résultat

Un résultat de mesure s'écrit toujours avec sa valeur et son incertitude, dans la même unité :

$V = \overline{V} \pm u(\overline{V}) = (99{,}6 \pm 0{,}4)\ \mathrm{mL}$

Deux règles d'écriture, qui vont ensemble.

1. L'incertitude s'arrondit à un ou deux chiffres significatifs. Écrire $u = 0{,}3748\ \mathrm{mL}$ n'a aucun sens : on ne connaît pas l'incertitude à un dix-millième près.

2. La valeur mesurée s'arrondit au même rang que l'incertitude. Ici l'incertitude porte sur le dixième de millilitre : la valeur s'écrit donc au dixième, $99{,}6$, et non $99{,}629$. Les chiffres suivants existent dans la calculatrice, pas dans la réalité.

Chiffres significatifs. Ce sont les chiffres écrits en partant du premier chiffre non nul à gauche. $99{,}6\ \mathrm{mL}$ en a trois ; $0{,}0250\ \mathrm{g}$ en a trois aussi ($2$, $5$ et le $0$ final, qui indique que la pesée est connue au dixième de milligramme) ; $100\ \mathrm{mL}$ est ambigu, et c'est pour cela qu'on écrit plutôt $1{,}00\times10^{2}\ \mathrm{mL}$ quand on veut annoncer trois chiffres.

Dans un calcul, le résultat ne peut pas être plus précis que la donnée la moins précise : on garde autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins. Une masse volumique calculée à partir de $m = 27{,}0\ \mathrm{g}$ (3 chiffres) et $V = 10{,}0\ \mathrm{mL}$ (3 chiffres) s'écrit $2{,}70\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}}$ — pas $2{,}7\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}}$, pas $2{,}7000$.

Sur une éprouvette graduée au millilitre, le niveau se lit entre les traits $67$ et $68$ : les deux premiers chiffres sont lus, le troisième est estimé. On écrit $67{,}4\ \mathrm{mL}$ — trois chiffres significatifs, dont le dernier est incertain. Écrire $67{,}42\ \mathrm{mL}$ serait annoncer une précision que l'instrument n'a pas. La lecture se fait à hauteur d'œil, au bas du ménisque.

7. Comparer à une valeur de référence

Une valeur de référence est une valeur admise, obtenue par ailleurs : une table, une valeur tabulée dans un manuel, l'indication du fabricant, une mesure de bien meilleure qualité. Ici, l'éprouvette est censée délivrer $100{,}0\ \mathrm{mL}$.

La question n'est jamais « ma valeur est-elle égale à la référence ? » — elle ne l'est jamais — mais « l'écart est-il grand devant mon incertitude ? ».

On compare donc l'écart à l'incertitude-type :

$\text{écart} = |\,\overline{V} - V_{\text{réf}}\,| = |99{,}6 - 100{,}0| = 0{,}4\ \mathrm{mL} \qquad \text{soit } \frac{0{,}4}{0{,}4} \approx 1\ u$

La valeur de référence tombe à environ une incertitude-type de la valeur mesurée, donc largement dans l'intervalle $\overline{V} \pm 2u$. Les deux valeurs sont compatibles : rien, dans cette mesure, ne permet de dire que l'éprouvette délivre autre chose que $100\ \mathrm{mL}$.

Le critère usuel. Un écart inférieur à $2u$ est considéré comme compatible avec la valeur de référence : la différence s'explique par la seule variabilité de la mesure. Un écart supérieur à $2u$ signale au contraire une anomalie — un défaut de justesse, une erreur de protocole, une valeur de référence inadaptée — qu'il faut chercher.

Attention au sens de la phrase : compatible ne veut pas dire « juste ». Cela veut dire que la mesure n'est pas assez précise pour révéler un écart. Avec 96 mesures au lieu de 24, l'incertitude tomberait à $0{,}2\ \mathrm{mL}$ et le même écart de $0{,}4\ \mathrm{mL}$ vaudrait alors $2u$ : il deviendrait, lui, suspect.

8. L'influence de l'instrument et du protocole

Reprenons la même mesure avec une pipette jaugée de $100\ \mathrm{mL}$, verrerie de précision, au lieu de l'éprouvette graduée. Vingt-quatre binômes recommencent.

Les deux séries mesurent la même grandeur et donnent des moyennes voisines. Mais la série à la pipette est cinq fois plus resserrée : son écart-type vaut $0{,}35\ \mathrm{mL}$ contre $1{,}8\ \mathrm{mL}$ à l'éprouvette. Changer d'instrument a fait ce que 24 mesures supplémentaires n'auraient pas fait.

C'est la conclusion pratique du chapitre : la dispersion se réduit d'abord en améliorant l'instrument et le protocole, ensuite seulement en répétant. Et un protocole plus soigné — lire à hauteur d'œil, au bas du ménisque, sur une paillasse horizontale — ne coûte rien.

Exercices corrigés

Exercice 1 — Lire une série

Huit élèves mesurent la longueur d'une même table, en centimètres : $120{,}2$ ; $119{,}8$ ; $120{,}6$ ; $120{,}0$ ; $119{,}5$ ; $120{,}3$ ; $120{,}1$ ; $119{,}9$.

a. Calculer la moyenne. b. La calculatrice donne $s = 0{,}33\ \mathrm{cm}$. Que signifie ce nombre ? c. Quelle incertitude-type associer à la moyenne ? d. Écrire le résultat de la mesure.

Correction. a. La somme vaut $960{,}4\ \mathrm{cm}$, donc $\overline{L} = 960{,}4/8 = 120{,}05\ \mathrm{cm}$. b. L'écart typique entre une mesure isolée et la moyenne est de $0{,}33\ \mathrm{cm}$ : une mesure prise au hasard s'écarte de la moyenne de $3\ \mathrm{mm}$ environ. c. $u(\overline{L}) = s/\sqrt{N} = 0{,}33/\sqrt{8} = 0{,}12\ \mathrm{cm}$. d. L'incertitude porte sur le centième de centimètre : $L = (120{,}05 \pm 0{,}12)\ \mathrm{cm}$.

Exercice 2 — Compatible ou non ?

Un groupe mesure la masse volumique d'un métal et trouve $\rho = 8{,}7\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}}$ avec une incertitude-type $u(\rho) = 0{,}2\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}}$. Les valeurs de référence sont : cuivre $8{,}96\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}}$, laiton $8{,}4\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}}$, zinc $7{,}13\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}}$.

a. Le résultat est-il compatible avec le cuivre ? avec le laiton ? avec le zinc ? b. Que conclure ?

Correction. a. On compare chaque écart à $u(\rho) = 0{,}2$ : — cuivre : $|8{,}7 - 8{,}96| = 0{,}26$, soit $1{,}3\,u$ → compatible ; — laiton : $|8{,}7 - 8{,}4| = 0{,}3$, soit $1{,}5\,u$ → compatible ; — zinc : $|8{,}7 - 7{,}13| = 1{,}57$, soit $7{,}8\,u$ → non compatible. b. Le zinc est exclu sans hésitation. Mais la mesure ne permet pas de trancher entre le cuivre et le laiton : leurs masses volumiques sont trop proches devant l'incertitude. Pour conclure, il faudrait diminuer $u(\rho)$ — meilleure balance, volume mesuré autrement — ou recourir à un autre critère d'identification (chapitre 2).

Exercice 3 — Choisir sa stratégie

Une série de 9 mesures d'une durée donne $\overline{t} = 2{,}40\ \mathrm{s}$ et $s = 0{,}30\ \mathrm{s}$. a. Calculer $u(\overline{t})$. b. Combien de mesures faudrait-il pour diviser cette incertitude par 2 ? c. Le chronométrage manuel introduit une dispersion de $0{,}3\ \mathrm{s}$ ; un capteur optique la ramènerait à $0{,}01\ \mathrm{s}$. Que faire ?

Correction. a. $u(\overline{t}) = 0{,}30/\sqrt{9} = 0{,}10\ \mathrm{s}$. b. L'incertitude varie en $1/\sqrt{N}$ : la diviser par 2 exige de multiplier $N$ par $4$, soit 36 mesures — quatre fois plus de travail pour un facteur 2. c. Le capteur optique divise l'écart-type par 30. Avec 9 mesures seulement, il donnerait $u = 0{,}01/\sqrt{9} = 0{,}0033\ \mathrm{s}$, soit trente fois mieux que les 36 mesures manuelles. Changer d'instrument l'emporte largement sur répéter.

Exercice 4 — Écrire proprement

Corriger l'écriture des résultats suivants. a. $m = (12{,}3456 \pm 0{,}1)\ \mathrm{g}$ b. $\ell = (25 \pm 0{,}03)\ \mathrm{cm}$ c. $T = (3{,}2 \pm 0{,}0157)\ \mathrm{s}$

Correction. a. L'incertitude porte sur le dixième de gramme : $m = (12{,}3 \pm 0{,}1)\ \mathrm{g}$. b. La valeur doit être écrite au même rang que l'incertitude, soit au centième : $\ell = (25{,}00 \pm 0{,}03)\ \mathrm{cm}$. c. L'incertitude s'arrondit à un ou deux chiffres significatifs, ici $0{,}016\ \mathrm{s}$ ; la valeur doit alors être donnée au millième : $T = (3{,}200 \pm 0{,}016)\ \mathrm{s}$.

L'essentiel

• Une mesure varie : instrument, protocole, opérateur et grandeur y contribuent.
• Une série de mesures se lit par son histogramme, se résume par sa moyenne et se chiffre par son écart-type $s$.
• L'incertitude-type vaut $u = s$ pour une mesure unique, et $u = s/\sqrt{N}$ pour la moyenne de $N$ mesures.
• Un résultat s'écrit $x = \overline{x} \pm u$, l'incertitude à un ou deux chiffres significatifs et la valeur au même rang.
• Comparer à une référence, c'est comparer l'écart à l'incertitude : au-delà de $2u$, il faut chercher une explication.
• La dispersion se réduit d'abord par un meilleur instrument, ensuite seulement par la répétition.

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