Physique-Chimie — Première
Description d'un fluide au repos — Physique-Chimie Première (chapitre 13)
Masse volumique, pression, température, échelles de description d'un fluide, loi de Mariotte, forces pressantes et loi fondamentale de la statique des…
Par ProfBot
Description d'un fluide au repos
Chapitre 13 — Mouvement et interactions · Première, spécialité physique-chimie
Un fluide — un liquide ou un gaz — contient de l'ordre de $10^{19}$ entités par centimètre cube s'il est gazeux, et $10^{22}$ s'il est liquide. Aucune chance de suivre chacune d'elles. On les décrit donc par trois grandeurs d'ensemble : la masse volumique, la pression et la température. Ce chapitre montre d'où viennent ces grandeurs, ce qu'elles cachent à l'échelle microscopique, et les deux lois qui gouvernent un fluide immobile.
Au programme officiel. Échelles de description ; grandeurs macroscopiques de description d'un fluide au repos : masse volumique, pression, température ; modèle de comportement d'un gaz : loi de Mariotte ; actions exercées par un fluide sur une surface : forces pressantes ; loi fondamentale de la statique des fluides.
Capacités exigibles : expliquer qualitativement le lien entre grandeurs macroscopiques et comportement microscopique ; utiliser la loi de Mariotte ; exploiter $F = P\cdot S$ ; utiliser la relation $P_2 - P_1 = \rho g (z_1 - z_2)$.
1. Deux échelles pour un même fluide
À l'échelle microscopique, un fluide est un gigantesque essaim d'entités en mouvement désordonné permanent — l'agitation thermique. Elles se déplacent dans toutes les directions, s'entrechoquent, et rebondissent sur les parois du récipient.
À l'échelle macroscopique, on ne voit rien de tout cela : on mesure trois grandeurs, et chacune est la trace statistique d'un comportement microscopique.
| Grandeur macroscopique | Ce qu'elle traduit à l'échelle microscopique |
|---|---|
| masse volumique $\rho$ | le nombre d'entités par unité de volume (et leur masse) |
| température $T$ | l'agitation : plus $T$ est grande, plus les entités vont vite |
| pression $P$ | la fréquence et la violence des chocs sur les parois |
Un détail qui compte. Un choc isolé est un événement minuscule et aléatoire. Mais il s'en produit environ $10^{27}$ par seconde et par mètre carré dans l'air d'une pièce. À ce nombre-là, les fluctuations deviennent invisibles et la moyenne devient une grandeur parfaitement stable : c'est la pression. La pression n'existe pas pour une molécule seule — c'est une grandeur collective.
La masse volumique relie la masse au volume : $\boxed{\;\rho = \frac{m}{V}\;}\qquad \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$
| Fluide | $\rho$ ($\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$) |
|---|---|
| air (20 °C, 1 bar) | $1{,}2$ |
| eau liquide | $1{,}00\times10^{3}$ |
| éthanol | $0{,}79\times10^{3}$ |
| mercure | $13{,}6\times10^{3}$ |
Un litre d'eau pèse un kilogramme ; un litre d'air, à peine plus d'un gramme. Le rapport est de l'ordre de $800$ : c'est toute la différence entre un liquide, où les entités se touchent, et un gaz, où elles sont très éloignées les unes des autres.
2. La pression et les forces pressantes
Définition. Un fluide exerce sur toute surface $S$ en contact avec lui une force pressante $\vec{F}$, perpendiculaire à la surface et dirigée vers elle, de valeur
$\boxed{\;F = P\times S\;}$
$F$ en newtons, $S$ en mètres carrés, $P$ en pascals ($1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N\cdot m^{-2}}$).
Les unités qu'on rencontre. $1\ \mathrm{bar} = 10^{5}\ \mathrm{Pa} \qquad 1\ \mathrm{hPa} = 100\ \mathrm{Pa} \qquad P_{\text{atm}} = 1013\ \mathrm{hPa} = 1{,}013\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$
Deux propriétés à ne pas confondre.
- La force pressante est toujours perpendiculaire à la surface, quelle que soit son orientation — inclinez la surface, la force s'incline avec elle. C'est ce qui distingue un fluide d'un solide, qui peut exercer des forces obliques.
- La pression, elle, n'a pas de direction : c'est un nombre. En un point d'un fluide, elle est la même dans toutes les directions.
L'ordre de grandeur qui surprend. L'atmosphère exerce sur $1\ \mathrm{m^2}$ une force
$F = 1{,}013\times10^{5}\times1 = 1{,}013\times10^{5}\ \mathrm{N},$
soit le poids d'environ 10 tonnes. Sur le dos de vos deux mains, cela fait déjà quelques centaines de kilogrammes. Vous ne sentez rien parce que la même pression s'exerce de l'autre côté : les deux forces se compensent. C'est la différence de pression qui se fait sentir, jamais la pression seule — d'où le fait qu'une ventouse tient, et qu'un tympan fait mal en avion.
3. La loi de Mariotte
Comprimons un gaz à température constante, en réduisant son volume. Les entités sont plus serrées, elles frappent les parois plus souvent : la pression augmente. La loi qui quantifie cela est due à Boyle et Mariotte, au XVII<sup>e</sup> siècle.
Loi de Mariotte. Pour une quantité de gaz fixée et à température constante,
$\boxed{\;P\times V = \text{constante}\;}\qquad\text{soit}\qquad P_1 V_1 = P_2 V_2$
Comment on la vérifie au laboratoire. Une seringue bouchée, reliée à un capteur de pression : on lit $(V, P)$ pour plusieurs positions du piston. Tracer $P$ en fonction de $V$ donne une courbe décroissante dont il est difficile de dire si c'est une hyperbole ou autre chose. Tracer $P$ en fonction de $1/V$ donne une droite passant par l'origine : c'est cette linéarisation qui prouve la loi.
Trois conditions à ne jamais oublier, sous peine d'appliquer la loi hors de son domaine :
1. la température est constante — si l'on comprime brutalement, le gaz s'échauffe et la loi ne s'applique plus ;
2. la quantité de gaz est constante — aucune fuite ;
3. il s'agit d'un gaz. Un liquide est quasiment incompressible : diviser son volume par deux demanderait des milliers de bars.
4. La loi fondamentale de la statique des fluides
Dans un liquide immobile, la pression augmente avec la profondeur : chaque couche supporte le poids de toutes celles qui sont au-dessus.
Loi fondamentale de la statique des fluides. Pour un fluide incompressible au repos, entre deux points d'altitudes $z_1$ et $z_2$ :
$\boxed{\;P_2 - P_1 = \rho\, g\,(z_1 - z_2)\;}$
$z$ est mesurée sur un axe vertical orienté vers le haut, $\rho$ en $\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$, $g = 9{,}81\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}$.
Comment ne jamais se tromper de signe. Retenez le sens physique plutôt que la formule : le point le plus bas est celui qui a la plus grande pression. Si votre calcul donne l'inverse, vous avez inversé $z_1$ et $z_2$.
L'application la plus parlante — la plongée. Descendre de $h$ mètres sous l'eau ajoute $\Delta P = \rho\,g\,h = 1000\times9{,}81\times h$ Pour $h = 10\ \mathrm{m}$ : $\Delta P = 9{,}81\times10^{4}\ \mathrm{Pa}$, soit presque exactement 1 bar. D'où la règle des plongeurs : un bar tous les dix mètres. À $10\ \mathrm{m}$ de profondeur, la pression totale vaut donc environ $2\ \mathrm{bar}$ — l'atmosphère plus l'eau.
Trois conséquences qu'on retrouve partout.
- Dans un même fluide, deux points à la même altitude sont à la même pression, même s'ils sont dans deux branches éloignées d'un tube : $z_1 = z_2$ donne $P_1 = P_2$. C'est le principe des vases communicants.
- Un manomètre ou un baromètre à liquide mesure une pression en lisant une hauteur.
- Dans l'air, $\rho$ est $800$ fois plus faible et l'effet devient minuscule : monter de trois mètres dans une pièce ne fait perdre que $35\ \mathrm{Pa}$, soit $0{,}035\ \%$ de la pression atmosphérique. C'est pourquoi on considère la pression uniforme dans une pièce — mais pas sur $3000\ \mathrm{m}$ de dénivelé en montagne.
Exercices corrigés
Données : $g = 9{,}81\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}$ ; $\rho_{\text{eau}} = 1{,}00\times10^{3}\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ ; $\rho_{\text{mercure}} = 13{,}6\times10^{3}\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ ; $\rho_{\text{air}} = 1{,}2\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ ; $P_{\text{atm}} = 1{,}013\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$.
Exercice 1 — Masse volumique et masse d'air
Une salle de classe mesure $8{,}0\ \mathrm{m} \times 6{,}0\ \mathrm{m} \times 3{,}0\ \mathrm{m}$. a. Calculer la masse de l'air qu'elle contient. b. Comparer à la masse d'eau qui remplirait la même salle.
Correction. a. $V = 8{,}0\times6{,}0\times3{,}0 = 144\ \mathrm{m^3}$, donc $m = \rho V = 1{,}2\times144 = 1{,}7\times10^{2}\ \mathrm{kg}$. Près de deux cents kilogrammes d'air : bien plus lourd que l'intuition ne le suggère. b. $m_{\text{eau}} = 1{,}00\times10^{3}\times144 = 1{,}44\times10^{5}\ \mathrm{kg}$, soit $144$ tonnes — environ $830$ fois plus.
Exercice 2 — Force pressante sur un hublot
Un hublot circulaire de rayon $R = 15\ \mathrm{cm}$ équipe un sous-marin à $80\ \mathrm{m}$ de profondeur. a. Calculer la pression de l'eau à cette profondeur. b. En déduire la force pressante exercée par l'eau sur le hublot. c. Comparer au poids d'une voiture ($1{,}2$ tonne).
Correction. a. $P = P_{\text{atm}} + \rho g h = 1{,}013\times10^{5} + 1{,}00\times10^{3}\times9{,}81\times80 = 8{,}86\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$, soit $8{,}9\ \mathrm{bar}$. b. $S = \pi R^{2} = \pi\times(0{,}15)^{2} = 7{,}07\times10^{-2}\ \mathrm{m^2}$, donc $F = P\,S = 8{,}86\times10^{5}\times7{,}07\times10^{-2} = 6{,}3\times10^{4}\ \mathrm{N}$. c. Le poids de la voiture vaut $1200\times9{,}81 = 1{,}18\times10^{4}\ \mathrm{N}$ : la force sur le hublot en représente 5,3 fois plus. D'où l'épaisseur des hublots de sous-marins.
Exercice 3 — Une seringue
Une seringue bouchée contient $V_1 = 20{,}0\ \mathrm{mL}$ d'air à $P_1 = 1013\ \mathrm{hPa}$. On enfonce le piston jusqu'à $V_2 = 8{,}0\ \mathrm{mL}$, lentement, à température ambiante. a. Calculer la pression finale. b. Le résultat serait-il le même si l'on enfonçait le piston d'un coup sec ? c. On mesure en réalité $2450\ \mathrm{hPa}$. Proposer une explication.
Correction. a. $P_2 = \dfrac{P_1V_1}{V_2} = \dfrac{1013\times20{,}0}{8{,}0} = 2{,}53\times10^{3}\ \mathrm{hPa}$, soit $2{,}5\ \mathrm{bar}$. b. Non. Une compression brutale échauffe le gaz, la température ne serait plus constante et la loi de Mariotte ne s'appliquerait pas. c. La valeur mesurée est inférieure à la prévision : il manque du gaz, donc il y a une petite fuite (piston mal étanche, raccord). Un défaut d'étanchéité fait toujours baisser la pression mesurée.
Exercice 4 — Le baromètre de Torricelli
Un tube rempli de mercure, retourné sur une cuve, laisse au-dessus du mercure un vide où la pression est nulle. On mesure la hauteur $h$ de la colonne. a. Exprimer $P_{\text{atm}}$ en fonction de $h$. b. Calculer $h$ pour $P_{\text{atm}} = 1{,}013\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$. c. Quelle serait la hauteur avec de l'eau ?
Correction. a. Entre le sommet de la colonne (pression nulle) et la surface libre de la cuve (pression $P_{\text{atm}}$), séparés de la hauteur $h$ : $P_{\text{atm}} - 0 = \rho\,g\,h \quad\Longrightarrow\quad P_{\text{atm}} = \rho\,g\,h.$ b. $h = \dfrac{1{,}013\times10^{5}}{13{,}6\times10^{3}\times9{,}81} = 0{,}759\ \mathrm{m}$, soit $76\ \mathrm{cm}$ — d'où l'ancienne unité « $760\ \mathrm{mm}$ de mercure ». c. Avec $\rho = 1{,}00\times10^{3}$ : $h = 10{,}3\ \mathrm{m}$. Un baromètre à eau ferait plus de dix mètres de haut : c'est très exactement pourquoi Torricelli a choisi le mercure.
Exercice 5 — Plongée
Un plongeur descend à $30\ \mathrm{m}$. a. Calculer la pression absolue à cette profondeur. b. Il remplit un ballon souple de $2{,}0\ \mathrm{L}$ au fond, puis remonte en surface sans laisser l'air s'échapper. Quel volume le ballon occupe-t-il en surface ? c. Pourquoi un plongeur ne doit-il jamais remonter en bloquant sa respiration ?
Correction. a. $P = P_{\text{atm}} + \rho g h = 1{,}013\times10^{5} + 1{,}00\times10^{3}\times9{,}81\times30 = 3{,}96\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$, soit environ $4\ \mathrm{bar}$. b. À température constante, $P_1V_1 = P_2V_2$ : $V_2 = \frac{3{,}96\times10^{5}\times2{,}0}{1{,}013\times10^{5}} = 7{,}8\ \mathrm{L}.$ Le ballon quadruple de volume. c. Ses poumons se comportent comme le ballon : à volume bloqué, l'air se dilate en remontant et peut déchirer les alvéoles. C'est la surpression pulmonaire, et c'est pour cela que la première règle de la plongée est d'expirer pendant la remontée.
À retenir
Les trois grandeurs macroscopiques traduisent chacune un comportement microscopique : $\rho$ le tassement, $T$ l'agitation, $P$ les chocs sur les parois.
La force pressante $F = P\times S \qquad \text{perpendiculaire à la surface, toujours}$
La loi de Mariotte (gaz, température et quantité constantes) $P_1V_1 = P_2V_2$
La statique des fluides (fluide incompressible au repos) $P_2 - P_1 = \rho\,g\,(z_1 - z_2) \qquad \text{soit } +1\ \mathrm{bar} \text{ tous les } 10\ \mathrm{m} \text{ d'eau}$
Les trois réflexes
- Convertir les pressions en pascals avant tout calcul : les $\mathrm{hPa}$ et les $\mathrm{bar}$ des énoncés ne sont pas des unités du système international.
- Vérifier le sens : le point le plus bas a la plus grande pression. Toujours.
- Mariotte est une loi des gaz, à température constante. Ni pour un liquide, ni pour une compression brutale.
Chapitre suivant : ce que devient un système quand les forces ne se compensent plus — vecteur variation de vitesse et deuxième loi de Newton.