Physique-Chimie — Première

Interactions fondamentales et notion de champ — Physique-Chimie Première (chapitre 12)

Les quatre interactions fondamentales, la loi de Coulomb, la force et le champ de gravitation, le champ électrostatique, les lignes de champ et le champ…

Par ProfBot

Interactions fondamentales et notion de champ

Chapitre 12 — Mouvement et interactions · Première, spécialité physique-chimie

Tout ce qui se passe dans l'univers — une pomme qui tombe, un atome qui tient debout, une étoile qui brille — se ramène à quatre interactions. Deux d'entre elles seulement se manifestent à notre échelle : la gravitation et l'interaction électrostatique. Ce chapitre les met côte à côte, et introduit l'objet qui les décrit toutes les deux : le champ.

Au programme officiel. Charge électrique, interaction électrostatique, influence électrostatique ; loi de Coulomb ; force de gravitation et champ de gravitation ; force électrostatique et champ électrostatique.

Capacités exigibles : utiliser la loi de Coulomb ; citer les analogies entre la loi de Coulomb et la loi d'interaction gravitationnelle ; utiliser les expressions vectorielles des forces et des champs ; caractériser localement une ligne de champ.

1. Les quatre interactions fondamentales

Toutes les forces que vous rencontrerez cette année — poids, tension d'un fil, frottement, poussée d'Archimède, force pressante — ne sont que des manifestations, à notre échelle, de quatre interactions élémentaires.

Deux remarques qui font toute la logique du chapitre.

La gravitation est de très loin la plus faible — nous le calculerons au § 4 — et pourtant c'est elle qui structure l'univers. La raison : elle est toujours attractive, donc elle s'accumule. Les charges électriques, elles, sont de deux signes et se compensent : un morceau de matière ordinaire est électriquement neutre à quelques centimètres de distance, si bien qu'une étoile n'attire pas une planète électriquement.

Les deux interactions à portée infinie ont la même forme mathématique, en $1/d^{2}$. C'est cette analogie qui organise tout ce qui suit.

2. L'interaction électrostatique et la loi de Coulomb

La charge électrique d'un corps est toujours un multiple de la charge élémentaire $e = 1{,}60\times10^{-19}\ \mathrm{C}$ : elle est quantifiée. Un électron porte $-e$, un proton $+e$.

Loi de Coulomb. Deux corps ponctuels $A$ et $B$ portant les charges $q_A$ et $q_B$, séparés d'une distance $d$, exercent l'un sur l'autre des forces de même valeur

$\boxed{\;F = k\,\frac{|q_A|\,|q_B|}{d^{2}}\;}\qquad k = 8{,}99\times10^{9}\ \mathrm{N\cdot m^{2}\cdot C^{-2}}$

Sous forme vectorielle, la force exercée par $A$ sur $B$ s'écrit

$\vec{F}_{A/B} = k\,\frac{q_A\,q_B}{d^{2}}\;\vec{u}_{A\to B}$

où $\vec{u}_{A\to B}$ est le vecteur unitaire dirigé de $A$ vers $B$.

Comment lire le signe. Dans l'écriture vectorielle, on garde les charges avec leur signe, et le résultat s'interprète tout seul :

• $q_A q_B > 0$ (charges de même signe) : $\vec{F}_{A/B}$ est dans le sens de $\vec{u}_{A\to B}$, donc dirigée de $A$ vers $B$, elle éloigne $B$ de $A$ — répulsion ;
• $q_A q_B < 0$ (charges de signes contraires) : $\vec{F}_{A/B}$ est dans le sens opposé, elle ramène $B$ vers $A$ — attraction.

Les deux forces $\vec{F}_{A/B}$ et $\vec{F}_{B/A}$ sont toujours opposées et de même valeur, quelles que soient les charges : c'est le principe des actions réciproques. Une charge cent fois plus grande n'exerce pas une force plus grande que celle qu'elle subit.

L'influence électrostatique. Approchez une règle frottée d'un filet d'eau ou de petits morceaux de papier : ils sont attirés, alors qu'ils sont neutres. La règle chargée déplace légèrement les charges à l'intérieur du papier — les charges de signe opposé se rapprochent, celles de même signe s'éloignent. Les premières étant plus proches, l'attraction l'emporte sur la répulsion : l'objet neutre est attiré. C'est l'électrisation par influence, et elle explique pourquoi un corps chargé attire à peu près tout.

3. L'interaction gravitationnelle

Loi de gravitation universelle (Newton, 1687). Deux corps ponctuels de masses $m_A$ et $m_B$ séparés d'une distance $d$ s'attirent avec des forces de valeur

$\boxed{\;F = G\,\frac{m_A\,m_B}{d^{2}}\;}\qquad G = 6{,}67\times10^{-11}\ \mathrm{m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}}$

$\vec{F}_{A/B} = -\,G\,\frac{m_A\,m_B}{d^{2}}\;\vec{u}_{A\to B}$

Le signe moins de l'écriture vectorielle n'est pas décoratif : il traduit le fait que la gravitation est toujours attractive. Il n'existe pas de masse négative, donc pas de répulsion gravitationnelle. La loi de Coulomb, elle, n'a pas besoin de ce signe puisque les charges le portent déjà.

4. Laquelle des deux l'emporte ? Le cas de l'atome d'hydrogène

Un proton et un électron distants de $d = 5{,}3\times10^{-11}\ \mathrm{m}$ (rayon de l'atome d'hydrogène). Les deux forces coexistent : comparons-les.

Force électrostatique $F_e = k\,\frac{e^{2}}{d^{2}} = 8{,}99\times10^{9}\times\frac{(1{,}60\times10^{-19})^{2}}{(5{,}3\times10^{-11})^{2}} = 8{,}2\times10^{-8}\ \mathrm{N}$

Force gravitationnelle $F_g = G\,\frac{m_e\,m_p}{d^{2}} = 6{,}67\times10^{-11}\times\frac{9{,}11\times10^{-31}\times1{,}67\times10^{-27}}{(5{,}3\times10^{-11})^{2}} = 3{,}6\times10^{-47}\ \mathrm{N}$

$\frac{F_e}{F_g} \approx 2\times10^{39}$

Deux mille milliards de milliards de milliards de milliards de fois. Dans un atome, la gravitation ne compte pas : on l'oublie purement et simplement. Inversement, dans le système solaire, les charges se compensent et il ne reste que la gravitation. Chaque interaction a son domaine, et la distance n'y est pour rien — c'est le rapport $k e^2$ à $G m_e m_p$ qui décide, et il ne dépend pas de $d$ puisque les deux forces varient de la même façon.

5. Le champ : quand on cesse de parler de deux corps

La loi de Coulomb demande deux charges. Mais on aimerait pouvoir dire ce qui attend une charge avant de l'avoir posée quelque part. D'où l'idée : attribuer à l'espace lui-même une propriété, définie en chaque point, qui ne dépend que de la source.

Champ électrostatique. En un point $M$, une charge source crée un champ $\vec{E}(M)$ tel que toute charge $q$ placée en $M$ subit

$\boxed{\;\vec{F} = q\,\vec{E}(M)\;}$

$\vec{E}$ s'exprime en newtons par coulomb ($\mathrm{N\cdot C^{-1}}$), ou en volts par mètre ($\mathrm{V\cdot m^{-1}}$) : c'est la même unité.

Pour une charge ponctuelle $Q$ à la distance $d$ : $\;E = k\,\dfrac{|Q|}{d^{2}}$.

Champ de gravitation. De même, une masse source crée en $M$ un champ $\vec{\mathcal{G}}(M)$ tel que toute masse $m$ placée en $M$ subit

$\boxed{\;\vec{F} = m\,\vec{\mathcal{G}}(M)\;}\qquad \mathcal{G} = G\,\frac{M_{\text{source}}}{d^{2}}$

Il s'exprime en $\mathrm{N\cdot kg^{-1}}$.

Une vérification qui vaut la peine. À la surface de la Terre, à la distance $R_T = 6{,}37\times10^{6}\ \mathrm{m}$ du centre : $\mathcal{G} = \frac{6{,}67\times10^{-11}\times5{,}97\times10^{24}}{(6{,}37\times10^{6})^{2}} = 9{,}81\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}$ On retrouve le $g$ de l'intensité de la pesanteur, et le poids $\vec{P} = m\vec{g}$ n'est rien d'autre que la force de gravitation exercée par la Terre. Le champ de gravitation ne dépend pas de la masse qu'on y place : c'est exactement pour cela que tous les corps tombent de la même façon.

Lire une carte de champ

Une ligne de champ est une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur champ, orientée dans le sens du champ. Trois règles suffisent à lire n'importe quelle carte :

1. le vecteur champ est tangent à la ligne, jamais perpendiculaire ;
2. les lignes partent des charges positives et arrivent sur les charges négatives (pour la gravitation, elles convergent toujours vers les masses) ;
3. là où les lignes se resserrent, le champ est plus intense.

Un champ uniforme est un champ dont le vecteur est le même en tout point d'une région : même direction, même sens, même valeur. Ses lignes de champ y sont des droites parallèles régulièrement espacées. Deux exemples au programme :

- entre les deux plaques d'un condensateur plan soumis à une tension $U$ et séparées de $d$ : $E = \dfrac{U}{d}$, dirigé de la plaque $+$ vers la plaque $-$ ;

- le champ de pesanteur au voisinage du sol, sur quelques kilomètres : $\vec{g}$ vertical, vers le bas, de valeur $9{,}81\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}$.

Le second mérite une précision. À l'échelle de la Terre entière, les lignes de champ de gravitation convergent vers le centre : le champ n'est pas uniforme du tout. C'est seulement sur une portion petite devant $R_T$ que les lignes semblent parallèles — comme une plage semble plate. « Uniforme » est un modèle valable localement, pas une propriété de la Terre.

Exercices corrigés

Données : $k = 8{,}99\times10^{9}\ \mathrm{N\cdot m^{2}\cdot C^{-2}}$ ; $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \mathrm{m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}}$ ; $e = 1{,}60\times10^{-19}\ \mathrm{C}$ ; $m_e = 9{,}11\times10^{-31}\ \mathrm{kg}$ ; $m_p = 1{,}67\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$ ; $M_T = 5{,}97\times10^{24}\ \mathrm{kg}$ ; $R_T = 6{,}37\times10^{6}\ \mathrm{m}$ ; $M_L = 7{,}35\times10^{22}\ \mathrm{kg}$ ; $d_{TL} = 3{,}84\times10^{8}\ \mathrm{m}$.

Exercice 1 — Deux charges ponctuelles

Deux petites sphères portent $q_A = +2{,}0\ \mathrm{nC}$ et $q_B = -3{,}0\ \mathrm{nC}$, distantes de $4{,}0\ \mathrm{cm}$. a. Calculer la valeur de la force qu'exerce $A$ sur $B$. b. Préciser son sens. c. Que devient cette valeur si on double la distance ?

Correction. a. $F = k\dfrac{|q_A||q_B|}{d^{2}} = 8{,}99\times10^{9}\times\dfrac{2{,}0\times10^{-9}\times3{,}0\times10^{-9}}{(4{,}0\times10^{-2})^{2}} = 3{,}4\times10^{-5}\ \mathrm{N}$. b. Les charges sont de signes contraires : $q_Aq_B < 0$, la force est attractive, donc $\vec{F}_{A/B}$ est dirigée de $B$ vers $A$. c. La force varie en $1/d^{2}$ : doubler $d$ la divise par $4$, soit $8{,}4\times10^{-6}\ \mathrm{N}$.

Exercice 2 — Terre–Lune

a. Calculer la force de gravitation exercée par la Terre sur la Lune. b. Quelle force la Lune exerce-t-elle sur la Terre ? c. Calculer le champ de gravitation créé par la Terre à l'endroit de la Lune.

Correction. a. $F = G\dfrac{M_T M_L}{d_{TL}^{2}} = 6{,}67\times10^{-11}\times\dfrac{5{,}97\times10^{24}\times7{,}35\times10^{22}}{(3{,}84\times10^{8})^{2}} = 1{,}98\times10^{20}\ \mathrm{N}$. b. Exactement la même, $1{,}98\times10^{20}\ \mathrm{N}$, de sens opposé. La Lune est $81$ fois moins massive, cela ne change rien : les deux forces d'une interaction sont toujours opposées. c. $\mathcal{G} = G\dfrac{M_T}{d_{TL}^{2}} = 2{,}70\times10^{-3}\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}$. Vérification : $\mathcal{G}\times M_L = 2{,}70\times10^{-3}\times7{,}35\times10^{22} = 1{,}98\times10^{20}\ \mathrm{N}$, on retrouve bien a.

Exercice 3 — Le champ de pesanteur en altitude

a. Calculer $g$ au sol. b. Calculer $g$ à l'altitude de la Station spatiale internationale, $h = 400\ \mathrm{km}$. c. Les astronautes y flottent : est-ce parce qu'il n'y a « plus de gravité » ?

Correction. a. $g_0 = G\dfrac{M_T}{R_T^{2}} = 9{,}81\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}$. b. La distance au centre devient $R_T + h = 6{,}77\times10^{6}\ \mathrm{m}$, donc $g = 6{,}67\times10^{-11}\times\dfrac{5{,}97\times10^{24}}{(6{,}77\times10^{6})^{2}} = 8{,}69\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}$. c. Non : $8{,}69$ représente encore $89\ \%$ de la valeur au sol. Les astronautes flottent parce qu'ils tombent en permanence autour de la Terre, en même temps que la station — c'est l'impesanteur, pas l'absence de gravitation.

Exercice 4 — Lire une carte de champ

Sur une carte de champ électrostatique, les lignes partent d'une sphère $A$ et arrivent sur une sphère $B$ ; elles sont nettement plus resserrées près de $A$ que près de $B$. a. Quels sont les signes des charges ? b. Où le champ est-il le plus intense ? c. Une charge $q = -1{,}0\ \mathrm{nC}$ est placée en un point où $E = 5{,}0\times10^{3}\ \mathrm{N\cdot C^{-1}}$. Calculer la force qu'elle subit et donner son sens.

Correction. a. Les lignes partent de $A$ : $q_A > 0$. Elles arrivent sur $B$ : $q_B < 0$. b. Là où les lignes sont les plus resserrées, donc près de $A$. c. $F = |q|\,E = 1{,}0\times10^{-9}\times5{,}0\times10^{3} = 5{,}0\times10^{-6}\ \mathrm{N}$. La charge étant négative, $\vec{F} = q\vec{E}$ est de sens opposé à $\vec{E}$ : elle remonte les lignes de champ.

Exercice 5 — Un condensateur plan

Deux plaques parallèles distantes de $d = 5{,}0\ \mathrm{cm}$ sont reliées à une tension $U = 600\ \mathrm{V}$. a. Calculer le champ entre les plaques. b. Une gouttelette de masse $m = 2{,}0\times10^{-10}\ \mathrm{kg}$ portant la charge $q = +1{,}6\times10^{-14}\ \mathrm{C}$ est placée entre les plaques. Comparer la force électrostatique à son poids. c. Conclure sur son mouvement.

Correction. a. $E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{600}{5{,}0\times10^{-2}} = 1{,}2\times10^{4}\ \mathrm{V\cdot m^{-1}}$, uniforme, dirigé de la plaque $+$ vers la plaque $-$. b. $F_e = qE = 1{,}6\times10^{-14}\times1{,}2\times10^{4} = 1{,}92\times10^{-10}\ \mathrm{N}$ ; $P = mg = 2{,}0\times10^{-10}\times9{,}81 = 1{,}96\times10^{-9}\ \mathrm{N}$. Le poids est environ dix fois plus grand : $P/F_e = 10{,}2$. c. Le poids l'emporte d'un facteur $10$ : quelle que soit l'orientation du champ, la gouttelette descend. Si $\vec{E}$ est dirigé vers le haut (plaque négative en haut), elle descend seulement plus lentement que si elle était neutre. Pour la maintenir en équilibre, il faudrait $E = mg/q = 1{,}2\times10^{5}\ \mathrm{V\cdot m^{-1}}$, soit une tension environ dix fois plus grande : $6{,}1\times10^{3}\ \mathrm{V}$. C'est le principe de l'expérience de Millikan.

À retenir

Deux lois, une seule forme. $F = k\,\frac{|q_A||q_B|}{d^{2}} \qquad\qquad F = G\,\frac{m_A m_B}{d^{2}}$ Même dépendance en $1/d^{2}$ ; la gravitation est toujours attractive, l'électrostatique peut être attractive ou répulsive.

Le champ, c'est la force par unité de source. $\vec{F} = q\,\vec{E} \qquad\qquad \vec{F} = m\,\vec{\mathcal{G}}$ Le champ existe sans qu'on y place quoi que ce soit ; il ne dépend que de la source.

Les trois réflexes

1. Toujours comparer avant de calculer : à l'échelle atomique la gravitation est négligeable ($10^{39}$ fois plus faible) ; à l'échelle astronomique, c'est l'électrostatique qui l'est, parce que la matière est neutre.
2. Le vecteur champ est tangent à la ligne de champ, et les lignes serrées signalent un champ intense.
3. « Champ uniforme » est un modèle local : le champ de pesanteur ne l'est qu'à notre échelle, pas à celle de la Terre.

Chapitre suivant : les actions qu'exerce un fluide au repos — pression, loi de Mariotte et statique des fluides.

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