Mathématiques — Première
Variables aléatoires discrètes — Première Maths
Loi de probabilité, espérance, variance, écart-type et loi de Bernoulli.
Par ProfBot
Variables aléatoires discrètes — Première Mathématiques
🎯 Objectif : Modéliser une expérience aléatoire et calculer espérance et variance.
1. Variable aléatoire discrète
Une variable aléatoire discrète X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire.
Loi de probabilité = tableau donnant les valeurs et leurs probabilités :
| xᵢ | x₁ | x₂ | … | xₙ |
|---|---|---|---|---|
| P(X = xᵢ) | p₁ | p₂ | … | pₙ |
avec p₁ + p₂ + … + pₙ = 1
2. Espérance mathématique E(X)
E(X) = x₁·p₁ + x₂·p₂ + … + xₙ·pₙ = Σ xᵢ·P(X = xᵢ)
L'espérance représente la valeur moyenne de X sur un grand nombre de répétitions.
Propriétés linéaires :
E(aX + b) = a·E(X) + b
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
3. Variance V(X) et écart-type σ(X)
V(X) = E[(X - E(X))²] = E(X²) - [E(X)]²
La formule pratique :
V(X) = Σ xᵢ²·pᵢ - [E(X)]²
σ(X) = √V(X) (écart-type)
Propriétés :
V(aX + b) = a²·V(X)
σ(aX + b) = |a|·σ(X)
4. Exemple complet
On lance un dé équilibré (6 faces). X est le gain : +2€ si face > 4, -1€ si face ≤ 4.
Valeurs possibles : X ∈ {-1 ; 2}
P(X = -1) = P(face ≤ 4) = 4/6 = 2/3
P(X = 2) = P(face > 4) = 2/6 = 1/3
E(X) = (-1)(2/3) + (2)(1/3) = -2/3 + 2/3 = 0 €
V(X) = (-1)²(2/3) + (2)²(1/3) - 0²
= 2/3 + 4/3 = 2
σ(X) = √2 ≈ 1,41 €
5. Loi de Bernoulli B(p)
Épreuve à deux issues : succès (probabilité p) ou échec (1-p).
| X | 0 (échec) | 1 (succès) |
|---|---|---|
| P(X = k) | 1-p | p |
E(X) = p
V(X) = p(1-p)
σ(X) = √(p(1-p))
6. Interprétation probabiliste
Espérance : gain moyen par partie dans un jeu répété.
Jeu équitable : E(X) = 0
Écart-type : mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne — plus σ est grand, plus les valeurs sont dispersées.
7. Loi uniforme discrète
X prend n valeurs équiprobables : P(X = xᵢ) = 1/n pour tout i.
E(X) = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n (= moyenne arithmétique)
Exemple : dé équilibré, X = résultat :
E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
📝 Exercices
- X : gain d'un jeu de loterie. P(X=10) = 0,1 ; P(X=1) = 0,3 ; P(X=-2) = 0,6. Calculer E(X) et V(X).
- Bernoulli avec p = 0,3. Calculer E(X), V(X) et σ(X).
- X prend les valeurs 1, 3, 5, 7 avec probabilités 1/4 chacune. E(X) ? V(X) ?
- Un vendeur touche 100€ par vente, avec P(vente) = 0,4. Espérance sur 10 appels ?
✅ À retenir
E(X) = Σ xᵢpᵢ
V(X) = E(X²) - [E(X)]²
σ(X) = √V(X)
E(aX+b) = aE(X)+b V(aX+b) = a²V(X)
Bernoulli : E(X)=p V(X)=p(1-p)