Physique-Chimie — Première
Avancement et bilan de matière — Physique-Chimie Première (chapitre 5)
Avancement d'une réaction chimique en première spécialité physique-chimie : tableau d'avancement, réactif limitant, avancement maximal et avancement final,…
Par ProfBot
Avancement et bilan de matière
Chapitre 5 — Constitution et transformations de la matière · Première, spécialité physique-chimie
Une équation de réaction dit dans quelles proportions les espèces réagissent. Elle ne dit pas combien il en reste à la fin. Or c'est précisément la question du chimiste : après avoir mélangé tel réactif et tel autre, que contient le bécher ?
L'avancement est l'outil qui répond. Un seul nombre, noté $x$ et exprimé en moles, suffit à décrire la composition complète du système à tout instant. Le tableau d'avancement, qui l'organise, est sans doute l'outil le plus rentable de toute la chimie du lycée : il sert au titrage (chapitre 6), au rendement d'une synthèse (chapitre 10) et à la combustion (chapitre 11).
Au programme officiel. Évolution des quantités de matière lors d'une transformation ; état initial, notion d'avancement (mol), tableau d'avancement, état final ; avancement final, avancement maximal ; transformations totale et non totale ; mélanges stœchiométriques.
Capacité numérique : déterminer la composition de l'état final d'un système siège d'une transformation chimique totale à l'aide d'un langage de programmation.
Capacité mathématique : utiliser une équation linéaire du premier degré.
1. L'avancement d'une réaction
Considérons la transformation d'un système où le fer réagit avec les ions hydrogène d'une solution d'acide chlorhydrique :
$\mathrm{Fe_{(s)}} + 2\,\mathrm{H^{+}_{(aq)}} \longrightarrow \mathrm{Fe^{2+}_{(aq)}} + \mathrm{H_{2(g)}}$
Les coefficients stœchiométriques imposent un rythme : chaque fois qu'un atome de fer disparaît, deux ions $\mathrm{H^{+}}$ disparaissent aussi, un ion $\mathrm{Fe^{2+}}$ et une molécule $\mathrm{H_2}$ apparaissent. Ce rythme est commun à toutes les espèces : c'est lui qu'on numérote.
Définition. L'avancement $x$ d'une réaction, exprimé en moles, est la quantité de matière de réaction qui a eu lieu. Si $x$ vaut $0{,}010\ \mathrm{mol}$, c'est que $0{,}010\ \mathrm{mol}$ de fer et $0{,}020\ \mathrm{mol}$ d'ions $\mathrm{H^{+}}$ ont été consommés, et que $0{,}010\ \mathrm{mol}$ de $\mathrm{Fe^{2+}}$ et $0{,}010\ \mathrm{mol}$ de $\mathrm{H_2}$ ont été formés.
À l'état initial, $x = 0$. L'avancement ne peut qu'augmenter, et il s'arrête à une valeur $x_f$ appelée avancement final.
$n(\text{réactif}) = n_{\text{initial}} - \nu\,x \qquad\qquad n(\text{produit}) = n_{\text{initial}} + \nu\,x$
où $\nu$ est le coefficient stœchiométrique de l'espèce dans l'équation.
2. Le tableau d'avancement
C'est la mise en forme systématique de ces relations : une ligne pour l'état initial, une pour l'état intermédiaire, une pour l'état final.
Le tableau porte l'équation en en-tête, une colonne par espèce, et l'avancement dans la première colonne. Chaque case s'écrit « quantité initiale $-$ ou $+$ coefficient $\times x$ » : le coefficient de la case est exactement celui de l'équation, au-dessus.
Exemple. On introduit $0{,}050\ \mathrm{mol}$ de fer dans une solution contenant $0{,}080\ \mathrm{mol}$ d'ions $\mathrm{H^{+}}$.
| $\mathrm{Fe}$ | $+\ 2\,\mathrm{H^{+}}$ | $\longrightarrow$ | $\mathrm{Fe^{2+}}$ | $+\ \mathrm{H_2}$ | |
|---|---|---|---|---|---|
| état initial ($x = 0$) | 0,050 | 0,080 | 0 | 0 | |
| en cours (avancement $x$) | $0{,}050 - x$ | $0{,}080 - 2x$ | $x$ | $x$ | |
| état final ($x = x_f$) | $0{,}050 - x_f$ | $0{,}080 - 2x_f$ | $x_f$ | $x_f$ |
Le coefficient ne se met pas sur la quantité initiale. L'erreur classique consiste à écrire « $2\times0{,}080 - 2x$ ». La quantité initiale est celle qu'on a versée dans le bécher : elle n'a rien à voir avec l'équation. Seul le terme en $x$ porte le coefficient stœchiométrique.
3. Réactif limitant et avancement maximal
Aucune quantité de matière ne peut devenir négative. Chaque réactif impose donc une limite à l'avancement :
$0{,}050 - x \geqslant 0 \;\Longrightarrow\; x \leqslant 0{,}050 \qquad\qquad 0{,}080 - 2x \geqslant 0 \;\Longrightarrow\; x \leqslant 0{,}040$
Définition. L'avancement maximal $x_{\max}$ est la plus petite de ces limites. Le réactif qui l'impose — celui qui disparaît en premier — est le réactif limitant.
$\boxed{\;x_{\max} = \min_{\text{réactifs}} \frac{n_{\text{initial}}}{\nu}\;}$
Ici $x_{\max} = 0{,}040\ \mathrm{mol}$, et le réactif limitant est l'ion $\mathrm{H^{+}}$. Le fer est en excès : il en restera.
Chaque espèce évolue linéairement avec l'avancement : les réactifs descendent (avec une pente $-\nu$), les produits montent (pente $+\nu$). La première droite qui touche zéro — ici celle des ions $\mathrm{H^{+}}$, deux fois plus pentue — fixe $x_{\max}$. Au-delà, le tableau n'a plus de sens physique.
La composition finale, pour une transformation totale ($x_f = x_{\max} = 0{,}040\ \mathrm{mol}$) :
| Espèce | Quantité finale | Calcul |
|---|---|---|
| $\mathrm{Fe}$ | $0{,}010\ \mathrm{mol}$ | $0{,}050 - 0{,}040$ |
| $\mathrm{H^{+}}$ | $0\ \mathrm{mol}$ | $0{,}080 - 2\times0{,}040$ — c'est le limitant |
| $\mathrm{Fe^{2+}}$ | $0{,}040\ \mathrm{mol}$ | $0 + 0{,}040$ |
| $\mathrm{H_2}$ | $0{,}040\ \mathrm{mol}$ | $0 + 0{,}040$ |
Le dihydrogène formé occupe, à $20\ ^\circ\mathrm{C}$, un volume $V = n\,V_m = 0{,}040\times24{,}0 = 0{,}96\ \mathrm{L}$ (chapitre 2) — presque un litre de gaz, ce qui se voit très bien à l'œil.
4. Le mélange stœchiométrique
Il existe un cas particulier remarquable : celui où tous les réactifs disparaissent en même temps.
Définition. Un mélange est stœchiométrique lorsque les quantités initiales des réactifs sont dans les proportions des coefficients de l'équation :
$\frac{n_1}{\nu_1} = \frac{n_2}{\nu_2} = \dots$
Tous les réactifs sont alors limitants ensemble, et il ne reste aucun réactif à l'état final.
Dans notre exemple, il aurait fallu $0{,}100\ \mathrm{mol}$ d'ions $\mathrm{H^{+}}$ pour $0{,}050\ \mathrm{mol}$ de fer.
Trois mélanges pour la même équation. À gauche et à droite, un réactif reste : il a été introduit en excès. Au centre, le rapport $n/\nu$ est le même pour les deux réactifs et le bécher se vide complètement — c'est le mélange stœchiométrique, celui que recherche toute synthèse soucieuse de ne rien gaspiller (chapitre 10).
5. Transformations totale et non totale
Jusqu'ici, on a supposé que la réaction allait jusqu'au bout. Ce n'est pas toujours vrai.
Définitions. On mesure expérimentalement l'avancement final $x_f$ (par exemple par le volume de gaz dégagé, ou par l'absorbance) et on le compare à l'avancement maximal $x_{\max}$ calculé.
- Si $x_f = x_{\max}$ : la transformation est totale. Le réactif limitant a entièrement disparu.
- Si $x_f < x_{\max}$ : la transformation est non totale. Il reste des réactifs alors que rien n'évolue plus.
Le rapport $\tau = \dfrac{x_f}{x_{\max}}$ est le taux d'avancement final, compris entre $0$ et $1$, souvent exprimé en pourcentage.
Le même $x_{\max}$, deux issues différentes. En haut, la transformation atteint la butée : $\tau = 1$. En bas, elle s'arrête avant : $\tau = 0{,}80$, et il reste $20\ \%$ du réactif limitant dans le bécher, indéfiniment.
Exemple. Une transformation de $x_{\max} = 0{,}040\ \mathrm{mol}$ s'arrête à $x_f = 0{,}032\ \mathrm{mol}$ : $\tau = \frac{0{,}032}{0{,}040} = 0{,}80 = 80\ \%.$ Il reste alors $0{,}080 - 2\times0{,}032 = 0{,}016\ \mathrm{mol}$ d'ions $\mathrm{H^{+}}$, qui ne réagiront plus.
Non totale ne veut pas dire lente. Une transformation non totale s'arrête définitivement, avec des réactifs encore présents. Attendre plus longtemps n'y change rien. La raison profonde — l'équilibre chimique — est au programme de terminale ; en première, on se contente de le constater en comparant $x_f$ à $x_{\max}$.
6. Trouver l'état final avec Python
La détermination du réactif limitant est un simple minimum : c'est exactement ce qu'un programme fait bien. Le programme ci-dessous est celui de la capacité numérique du chapitre.
def etat_final(quantites, coefficients_reactifs, coefficients_produits):
"""Composition finale d'un système, pour une transformation TOTALE.
quantites : quantités initiales des réactifs, en mol
coefficients_reactifs / coefficients_produits : les nombres de l'équation
"""
# chaque réactif impose une limite n/nu ; la plus petite est x_max
x_max = min(n / nu for n, nu in zip(quantites, coefficients_reactifs))
restants = [n - nu * x_max for n, nu in zip(quantites, coefficients_reactifs)]
formes = [nu * x_max for nu in coefficients_produits]
return x_max, restants, formes
# Fe + 2 H+ --> Fe2+ + H2, avec 0,050 mol de fer et 0,080 mol d'ions H+
x_max, restants, formes = etat_final([0.050, 0.080], [1, 2], [1, 1])
print("x_max =", x_max) # 0.04
print("réactifs restants :", restants) # [0.010, 0.0]
print("produits formés :", formes) # [0.04, 0.04]
Ce que le programme apporte : il rend le raisonnement réutilisable. Changer les quantités initiales, ou passer à une équation à trois réactifs, ne demande que de changer les listes — alors qu'un tableau doit être réécrit en entier. C'est aussi un excellent moyen de vérifier un tableau fait à la main.
Attention à ce que le programme ne sait pas. Il suppose la transformation totale : il calcule $x_{\max}$, jamais $x_f$. Aucune ligne de code ne peut deviner qu'une transformation s'arrête à $80\ \%$ — cela, seule l'expérience le dit.
Exercices corrigés
Donnée : $V_m = 24{,}0\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}$.
Exercice 1 — Un tableau complet
On mélange $0{,}30\ \mathrm{mol}$ de dihydrogène et $0{,}20\ \mathrm{mol}$ de dioxygène, et on déclenche la réaction : $2\,\mathrm{H_2} + \mathrm{O_2} \longrightarrow 2\,\mathrm{H_2O}$ a. Dresser le tableau d'avancement. b. Déterminer le réactif limitant et $x_{\max}$. c. Donner la composition du système à l'état final, la transformation étant totale.
Correction. a.
| $2\,\mathrm{H_2}$ | $+\ \mathrm{O_2}$ | $\longrightarrow$ | $2\,\mathrm{H_2O}$ | |
|---|---|---|---|---|
| initial | 0,30 | 0,20 | 0 | |
| en cours | $0{,}30-2x$ | $0{,}20-x$ | $2x$ |
b. $0{,}30-2x \geqslant 0 \Rightarrow x \leqslant 0{,}15$ ; $0{,}20-x \geqslant 0 \Rightarrow x \leqslant 0{,}20$. Donc $x_{\max} = 0{,}15\ \mathrm{mol}$ et le dihydrogène est limitant. c. $n(\mathrm{H_2}) = 0$ ; $n(\mathrm{O_2}) = 0{,}20-0{,}15 = 0{,}05\ \mathrm{mol}$ ; $n(\mathrm{H_2O}) = 2\times0{,}15 = 0{,}30\ \mathrm{mol}$.
Exercice 2 — Mélange stœchiométrique
Pour la même équation, quelle quantité de dioxygène faudrait-il introduire avec $0{,}30\ \mathrm{mol}$ de dihydrogène pour que le mélange soit stœchiométrique ?
Correction. Il faut $\dfrac{n(\mathrm{H_2})}{2} = \dfrac{n(\mathrm{O_2})}{1}$, soit $n(\mathrm{O_2}) = \frac{0{,}30}{2} = 0{,}15\ \mathrm{mol}.$ Les deux réactifs disparaîtraient alors ensemble, pour $x_{\max} = 0{,}15\ \mathrm{mol}$.
Exercice 3 — Du volume de gaz à l'avancement
On fait réagir $2{,}0\ \mathrm{g}$ de zinc ($M = 65{,}4\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$) avec $50{,}0\ \mathrm{mL}$ d'acide chlorhydrique à $1{,}0\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ : $\mathrm{Zn} + 2\,\mathrm{H^{+}} \longrightarrow \mathrm{Zn^{2+}} + \mathrm{H_2}$ a. Calculer les quantités initiales. b. Déterminer le réactif limitant et $x_{\max}$. c. Quel volume de dihydrogène recueille-t-on si la transformation est totale ?
Correction. a. $n(\mathrm{Zn}) = \dfrac{2{,}0}{65{,}4} = 3{,}06\times10^{-2}\ \mathrm{mol}$ ; $n(\mathrm{H^{+}}) = 1{,}0\times0{,}0500 = 5{,}0\times10^{-2}\ \mathrm{mol}$. b. Limites : $x \leqslant 3{,}06\times10^{-2}$ pour le zinc, $x \leqslant 2{,}5\times10^{-2}$ pour les ions $\mathrm{H^{+}}$. Donc $x_{\max} = 2{,}5\times10^{-2}\ \mathrm{mol}$, l'ion $\mathrm{H^{+}}$ est limitant. c. $n(\mathrm{H_2}) = x_{\max} = 2{,}5\times10^{-2}\ \mathrm{mol}$, d'où $V = 2{,}5\times10^{-2}\times24{,}0 = 0{,}60\ \mathrm{L}.$
Exercice 4 — Totale ou non ?
Dans l'expérience précédente, on ne recueille en réalité que $0{,}48\ \mathrm{L}$ de dihydrogène. a. Calculer l'avancement final. b. En déduire le taux d'avancement final. La transformation est-elle totale ? c. Quelle quantité d'ions $\mathrm{H^{+}}$ reste-t-il ?
Correction. a. $n(\mathrm{H_2}) = \dfrac{0{,}48}{24{,}0} = 2{,}0\times10^{-2}\ \mathrm{mol}$, donc $x_f = 2{,}0\times10^{-2}\ \mathrm{mol}$. b. $\tau = \dfrac{2{,}0\times10^{-2}}{2{,}5\times10^{-2}} = 0{,}80$, soit $80\ \%$ : la transformation n'est pas totale. c. $n(\mathrm{H^{+}}) = 5{,}0\times10^{-2} - 2\times2{,}0\times10^{-2} = 1{,}0\times10^{-2}\ \mathrm{mol}$.
Exercice 5 — Lire un programme
On exécute le programme du paragraphe 6 avec etat_final([0.10, 0.10], [1, 3], [2]), pour la synthèse de l'ammoniac $\mathrm{N_2} + 3\,\mathrm{H_2} \longrightarrow 2\,\mathrm{NH_3}$. a. Que vaut $x_{\max}$ ? b. Que contient la liste restants ? c. Quelle quantité d'ammoniac est formée ?
Correction. a. Les limites sont $0{,}10/1 = 0{,}10$ et $0{,}10/3 = 0{,}0333$ ; le minimum vaut $x_{\max} = 3{,}33\times10^{-2}\ \mathrm{mol}$, imposé par le dihydrogène. b. $[\,0{,}10 - 3{,}33\times10^{-2}\,;\ 0{,}10 - 3\times3{,}33\times10^{-2}\,] = [\,6{,}7\times10^{-2}\,;\ 0\,]$ : il reste du diazote, plus du tout de dihydrogène. c. $n(\mathrm{NH_3}) = 2\,x_{\max} = 6{,}7\times10^{-2}\ \mathrm{mol}$.
À retenir
L'avancement, en une ligne par espèce $n(\text{réactif}) = n_0 - \nu\,x \qquad\qquad n(\text{produit}) = n_0 + \nu\,x$
L'avancement maximal et le réactif limitant $x_{\max} = \min \frac{n_0}{\nu} \qquad \text{atteint par le réactif limitant}$
Le taux d'avancement final $\tau = \frac{x_f}{x_{\max}} \qquad \tau = 1 : \text{totale} \qquad \tau < 1 : \text{non totale}$
Les trois réflexes
- Le coefficient ne porte que sur $x$, jamais sur la quantité initiale.
- Vérifier que rien n'est négatif à l'état final : c'est le contrôle du réactif limitant.
- $x_{\max}$ se calcule, $x_f$ se mesure. Les confondre, c'est décréter totale une transformation qui ne l'est pas.
Chapitre suivant : le titrage, où l'on provoque volontairement le passage exact par le mélange stœchiométrique — et où l'on s'en sert pour mesurer une concentration inconnue.