Physique-Chimie — Première
Spectrophotométrie et loi de Beer-Lambert — Physique-Chimie Première (chapitre 3)
Spectrophotométrie en première spécialité physique-chimie : couleur d'une espèce en solution, couleurs complémentaires, spectre d'absorption UV-visible,…
Par ProfBot
Spectrophotométrie et loi de Beer-Lambert
Chapitre 3 — Constitution et transformations de la matière · Première, spécialité physique-chimie
Le chapitre 2 a montré comment déterminer une concentration en pesant. Mais on ne peut pas peser ce qui est déjà dissous : une fois le sulfate de cuivre en solution, la balance ne sert plus à rien. Il faut une méthode qui mesure sans détruire ni séparer.
La couleur en est une. Une solution colorée absorbe une partie de la lumière qui la traverse, et elle en absorbe d'autant plus qu'elle est concentrée. Mesurer cette absorption, c'est mesurer la concentration — sans toucher à la solution. C'est la méthode la plus utilisée dans les laboratoires d'analyse, du contrôle qualité au dosage sanguin.
Au programme officiel. Absorbance, spectre d'absorption, couleur d'une espèce en solution, loi de Beer-Lambert. Expliquer ou prévoir la couleur d'une espèce en solution à partir de son spectre UV-visible ; déterminer la concentration d'un soluté à partir de données expérimentales relatives à l'absorbance de solutions de concentrations connues.
Capacité expérimentale : proposer et mettre en œuvre un protocole pour réaliser une gamme étalon et déterminer la concentration d'une espèce colorée en solution ; tester les limites d'utilisation du protocole.
1. Pourquoi une solution est colorée
La lumière blanche du soleil ou d'une lampe contient toutes les radiations visibles, du violet ($400\ \mathrm{nm}$) au rouge ($800\ \mathrm{nm}$). Quand elle traverse une solution, certaines de ces radiations sont absorbées par les entités dissoutes ; les autres traversent et parviennent à l'œil.
La couleur perçue est celle de ce qui RESTE. Une solution de permanganate de potassium paraît violette parce qu'elle absorbe le vert. Le violet n'est pas ce qu'elle prend, c'est ce qu'elle laisse passer. C'est la couleur complémentaire de la couleur absorbée.
Le cercle chromatique se lit par diamètres : une espèce qui absorbe le vert paraît magenta, une espèce qui absorbe le bleu paraît jaune. Les deux couleurs d'un même diamètre sont dites complémentaires — ensemble, elles reconstitueraient la lumière blanche.
Le chapitre 20 reprendra ce mécanisme du point de vue de la lumière ; ici, on s'en sert comme d'un outil de mesure.
2. Le spectre d'absorption
Pour savoir précisément ce qu'absorbe une solution, on ne se fie pas à l'œil : on trace son spectre d'absorption, c'est-à-dire l'absorbance mesurée radiation par radiation.
Spectre d'une solution de permanganate de potassium. Le maximum d'absorption, à $\lambda_{\max} = 525\ \mathrm{nm}$, tombe dans le vert : la solution laisse donc passer le magenta-violet, qui est bien la couleur qu'on lui voit.
Deux informations se lisent sur un tel spectre.
- La couleur de la solution, par la position du maximum : on lit $\lambda_{\max}$, on en déduit la couleur absorbée, et la couleur complémentaire est celle de la solution.
- La longueur d'onde de travail, pour la suite : c'est toujours à $\lambda_{\max}$ qu'on effectuera les mesures, parce que c'est là que l'absorbance est la plus grande, donc la mesure la plus sensible et la moins bruitée.
3. L'absorbance
Définition. L'absorbance $A$ d'une solution, pour une radiation donnée, mesure la proportion de lumière retenue par la solution. C'est une grandeur sans unité, toujours positive.
$A = \log\left(\frac{I_0}{I}\right)$
où $I_0$ est l'intensité lumineuse entrant dans la cuve et $I$ celle qui en sort.
Le logarithme n'est pas exigible en première, mais la logique qu'il porte l'est : l'absorbance croît quand la lumière transmise diminue.
| Lumière transmise | Absorbance |
|---|---|
| $100\ \%$ ($I = I_0$) : rien n'est absorbé | $A = 0$ |
| $10\ \%$ | $A = 1$ |
| $1\ \%$ | $A = 2$ |
Une absorbance de 2 signifie donc que 99 % de la lumière a été retenue. C'est ce comportement en cascade qui explique qu'un spectrophotomètre devienne imprécis au-delà de $A \approx 2$ : il ne lui reste presque plus de lumière à mesurer.
Le spectrophotomètre isole une radiation de longueur d'onde $\lambda$ choisie, la fait traverser la cuve, et compare l'intensité sortante $I$ à l'intensité entrante $I_0$. On règle le « blanc » avec une cuve remplie de solvant pur : l'appareil retranche ainsi tout ce qui n'est pas dû à l'espèce étudiée — la cuve elle-même, le solvant, l'électronique.
4. La loi de Beer-Lambert
C'est la relation qui transforme cette mesure optique en mesure de concentration.
Loi de Beer-Lambert. Pour une solution diluée d'une espèce colorée, à une longueur d'onde fixée,
$\boxed{\;A = \varepsilon \times \ell \times c\;}$
- $A$ : absorbance, sans unité ;
- $\varepsilon$ : coefficient d'absorption molaire, en $\mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot cm^{-1}}$, qui dépend de l'espèce, du solvant et de la longueur d'onde ;
- $\ell$ : largeur de la cuve traversée, en $\mathrm{cm}$ (les cuves du lycée font $1{,}0\ \mathrm{cm}$) ;
- $c$ : concentration en quantité de matière de l'espèce absorbante, en $\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$.
L'essentiel tient en une phrase : à cuve et longueur d'onde fixées, l'absorbance est proportionnelle à la concentration.
$A = k \times c \qquad \text{avec } k = \varepsilon\,\ell \text{ constant.}$
La loi n'est vraie que si l'espèce absorbante est bien celle qu'on croit. Si la solution contient deux espèces colorées, leurs absorbances s'ajoutent et le dosage est faussé. Si l'espèce se transforme au cours du temps (oxydation à l'air, photodégradation), l'absorbance dérive. Le protocole doit donc garantir qu'une seule espèce absorbe à la longueur d'onde choisie.
5. Le dosage par étalonnage
Le coefficient $\varepsilon$ est rarement connu — et il n'a pas besoin de l'être. On le contourne en comparant la solution inconnue à des solutions de concentrations connues.
Le protocole, en quatre temps.
- Préparer la gamme étalon : cinq ou six solutions de concentrations connues, obtenues par dilutions successives d'une solution mère (chapitre 2), avec pipette et fiole jaugées.
- Régler l'appareil : choisir $\lambda_{\max}$ lu sur le spectre, faire le blanc avec le solvant pur.
- Mesurer l'absorbance de chaque solution étalon, puis tracer $A$ en fonction de $c$ : les points doivent s'aligner sur une droite passant par l'origine.
- Mesurer l'absorbance de la solution inconnue et lire sa concentration sur la droite — ou la calculer par $c = A/k$.
Les cinq points de la gamme étalon s'alignent sur une droite passant par l'origine, de coefficient directeur $k = 2440\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}$ (avec $\ell = 1{,}0\ \mathrm{cm}$, c'est aussi la valeur de $\varepsilon$). L'absorbance $A = 0{,}42$ de la solution inconnue se reporte sur la droite, puis se lit sur l'axe des concentrations : $c = 1{,}7\times10^{-4}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$.
Pourquoi la droite doit passer par l'origine. Une solution de concentration nulle est du solvant pur : elle n'absorbe rien, donc $A = 0$. Si la droite expérimentale ne passe pas par l'origine, c'est que le blanc a été mal fait, ou que la cuve est sale, ou qu'une autre espèce absorbe. C'est le meilleur contrôle de qualité d'une gamme étalon.
6. Tester les limites du protocole
Le programme demande explicitement de tester les limites de la méthode. Elles sont au nombre de trois.
1. Les fortes concentrations. Au-delà d'environ $10^{-2}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$, les entités dissoutes deviennent si nombreuses qu'elles interagissent entre elles : la proportionnalité se perd et la courbe s'infléchit vers le bas. Toute mesure faite dans cette zone sous-estime la concentration.
La loi de Beer-Lambert est une loi de solutions diluées. Aux fortes concentrations, l'absorbance mesurée décroche sous la droite : lire la concentration sur la droite dans cette zone conduirait à une valeur trop faible.
2. Le domaine de la gamme. On ne lit jamais une concentration hors de l'intervalle couvert par la gamme étalon. Si l'absorbance inconnue dépasse celle du dernier étalon, il faut diluer la solution inconnue d'un facteur connu, mesurer, puis multiplier le résultat par ce facteur.
3. La longueur d'onde. Mesurer ailleurs qu'à $\lambda_{\max}$ n'est pas faux, mais donne une pente plus faible, donc une mesure moins précise. Et changer de longueur d'onde entre la gamme et l'inconnue rendrait la comparaison absurde : $\varepsilon$ n'est pas le même.
Exercices corrigés
Exercice 1 — Lire une couleur
Une solution de sulfate de cuivre a un maximum d'absorption à $\lambda_{\max} = 800\ \mathrm{nm}$ (rouge). Une solution de diiode absorbe surtout vers $460\ \mathrm{nm}$ (bleu). a. De quelle couleur apparaît chacune de ces solutions ? b. À quelle longueur d'onde faut-il régler le spectrophotomètre pour doser chacune d'elles ?
Correction. a. La couleur perçue est la complémentaire de la couleur absorbée : le complémentaire du rouge est le cyan — la solution de sulfate de cuivre est bleu-cyan ; le complémentaire du bleu est le jaune-orangé — la solution de diiode est jaune-brun. b. Toujours à $\lambda_{\max}$ : $800\ \mathrm{nm}$ pour le sulfate de cuivre, $460\ \mathrm{nm}$ pour le diiode.
Exercice 2 — Exploiter une droite d'étalonnage
Une gamme étalon de permanganate de potassium, mesurée à $525\ \mathrm{nm}$ dans une cuve de $1{,}0\ \mathrm{cm}$, donne :
| $c$ ($\times10^{-4}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$) | 0,50 | 1,00 | 1,50 | 2,00 | 2,50 |
|---|---|---|---|---|---|
| $A$ | 0,12 | 0,25 | 0,36 | 0,49 | 0,61 |
a. Ces mesures sont-elles compatibles avec la loi de Beer-Lambert ? b. Déterminer le coefficient directeur de la droite, puis $\varepsilon$. c. Une solution inconnue donne $A = 0{,}42$. Quelle est sa concentration ?
Correction. a. Le rapport $A/c$ vaut successivement $2400$, $2500$, $2400$, $2450$, $2440\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}$ : il est constant à $2{,}5\ \%$ près, et les points s'alignent sur une droite passant par l'origine. La loi est bien vérifiée. b. Le coefficient directeur vaut $k = 2440\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}$. Comme $k = \varepsilon\,\ell$ avec $\ell = 1{,}0\ \mathrm{cm}$, $\varepsilon = \frac{2440}{1{,}0} = 2{,}4\times10^{3}\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot cm^{-1}}.$ c. $c = \dfrac{A}{k} = \dfrac{0{,}42}{2440} = 1{,}7\times10^{-4}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$. Cette valeur est bien à l'intérieur de la gamme, entre le troisième étalon ($1{,}50\times10^{-4}$) et le quatrième ($2{,}00\times10^{-4}$) : la lecture est légitime.
Exercice 3 — Hors gamme
Avec la même droite d'étalonnage, une solution donne une absorbance $A = 1{,}85$. a. Pourquoi ne peut-on pas conclure directement ? b. On dilue cette solution 10 fois et on retrouve $A' = 0{,}19$. Quelle était la concentration initiale ?
Correction. a. L'absorbance dépasse celle du dernier étalon ($0{,}61$) : la lecture sortirait du domaine étalonné, et rien ne garantit que la proportionnalité y soit encore vérifiée. b. Après dilution, $c' = \dfrac{0{,}19}{2440} = 7{,}8\times10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$. La solution initiale était donc dix fois plus concentrée : $c = 10 \times 7{,}8\times10^{-5} = 7{,}8\times10^{-4}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.$
Exercice 4 — Concentration en masse
Un jus de fruit industriel contient un colorant $\mathrm{E102}$ de masse molaire $M = 534\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$. Le dosage par étalonnage donne $c = 4{,}0\times10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$. a. Quelle est la concentration en masse du colorant ? b. La dose journalière admissible est de $7{,}5\ \mathrm{mg}$ par kilogramme de masse corporelle. Combien de litres de ce jus un adolescent de $50\ \mathrm{kg}$ devrait-il boire pour l'atteindre ?
Correction. a. $c_m = c\times M = 4{,}0\times10^{-5}\times534 = 2{,}1\times10^{-2}\ \mathrm{g\cdot L^{-1}}$, soit $21\ \mathrm{mg\cdot L^{-1}}$. b. La dose admissible vaut $7{,}5\times50 = 375\ \mathrm{mg}$, d'où $V = \frac{375}{21} = 18\ \mathrm{L}.$ Le calcul rassure sur ce colorant-ci, mais la même méthode sert précisément à repérer les cas où la réponse serait inférieure à un litre.
Exercice 5 — Un protocole critiqué
Un élève prépare sa gamme étalon à la pipette jaugée, mesure les absorbances, et obtient une droite d'équation $A = 2440\,c + 0{,}08$. a. Que devrait valoir l'ordonnée à l'origine ? b. Proposer deux causes possibles. c. L'erreur commise sur la concentration inconnue est-elle plus grave pour une absorbance de $0{,}15$ ou de $0{,}55$ ?
Correction. a. Elle devrait être nulle : une concentration nulle correspond à du solvant pur, qui n'absorbe pas. b. Le blanc a été fait avec une cuve différente ou mal essuyée ; ou bien la solution mère contenait déjà une autre espèce absorbante ; une cuve rayée ou des traces de doigts donnent le même effet. c. L'erreur absolue sur $A$ est la même ($0{,}08$), mais elle est relativement bien plus lourde sur la petite absorbance : $0{,}08/0{,}15 = 53\ \%$ contre $0{,}08/0{,}55 = 15\ \%$. Les faibles absorbances sont les plus vulnérables — raison de plus pour travailler à $\lambda_{\max}$, là où $A$ est grande.
À retenir
La couleur perçue est la complémentaire de la couleur absorbée. On lit $\lambda_{\max}$ sur le spectre d'absorption, et c'est à cette longueur d'onde qu'on travaille.
La loi de Beer-Lambert $A = \varepsilon\,\ell\,c \qquad\Longrightarrow\qquad A = k\,c \text{ (cuve et } \lambda \text{ fixées)}$ $A$ sans unité, $\varepsilon$ en $\mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot cm^{-1}}$, $\ell$ en $\mathrm{cm}$, $c$ en $\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$.
Le dosage par étalonnage : gamme étalon → droite $A = f(c)$ passant par l'origine → report de l'absorbance inconnue.
Les trois réflexes
- Faire le blanc, et vérifier que la droite passe par l'origine.
- Rester dans la gamme : hors du domaine étalonné, on dilue d'un facteur connu.
- Une seule espèce absorbante, sinon les absorbances s'ajoutent et le dosage ment.
Chapitre suivant : les réactions d'oxydoréduction, ces transformations où des électrons changent de propriétaire — et qui donneront, au chapitre 6, les titrages colorés les plus spectaculaires.