Physique-Chimie — Première

Mesure et incertitudes — Physique-Chimie Première (chapitre 1)

Mesure et incertitudes en première spécialité physique-chimie : variabilité d'une mesure, histogramme, moyenne et écart-type, incertitude-type de type A et…

Par ProfBot

Mesure et incertitudes

Chapitre 1 — Méthodes · Première, spécialité physique-chimie

Personne n'a jamais mesuré une grandeur physique. On mesure toujours une valeur approchée d'une grandeur physique, et le travail du scientifique consiste à dire de combien il peut se tromper. Une mesure sans son doute chiffré n'est pas un résultat : c'est une opinion.

Ce chapitre n'apporte presque aucune formule nouvelle, mais il installe un réflexe qui servira dans tous les autres chapitres de l'année : un titrage (chapitre 6), une distance focale (chapitre 19), une célérité (chapitre 18) sont des mesures, et chacune sera accompagnée d'une incertitude.

Au programme officiel. Variabilité de la mesure d'une grandeur physique ; incertitude-type ; écriture du résultat ; valeur de référence.

Capacité numérique : représenter l'histogramme associé à une série de mesures à l'aide d'un tableur.

⚠️ Deux notions volontairement absentes du programme de première : les incertitudes composées et le critère quantitatif de comparaison à une valeur de référence — toutes deux réservées à la terminale. En première, la comparaison reste qualitative.

1. Pourquoi deux mesures ne donnent jamais le même nombre

Faites verser à huit élèves le même titrage, avec la même burette et la même solution : vous obtiendrez huit volumes différents. Cette variabilité n'est pas la faute des élèves. Elle est une propriété de la mesure elle-même, et elle a deux origines qu'il faut soigneusement distinguer.

Les erreurs aléatoires changent de valeur et de signe d'une mesure à l'autre : appréciation du changement de couleur, lecture du bas du ménisque, temps de réaction au chronomètre, dernière décimale qui danse sur l'afficheur. Elles dispersent les résultats de part et d'autre de la bonne valeur. On les combat en répétant la mesure.

Les erreurs systématiques se reproduisent à l'identique, toujours dans le même sens : une balance mal tarée qui ajoute $0{,}5\ \mathrm{g}$ à chaque pesée, une burette rincée à l'eau distillée au lieu de la solution titrante, une règle dilatée par la chaleur. Elles décalent toutes les mesures du même côté. Répéter la mesure ne les corrige pas — pire, la répétition donne l'illusion rassurante d'un résultat très reproductible, donc très sûr, et pourtant faux.

Une série de mesures est fidèle si les valeurs sont peu dispersées entre elles, juste si leur moyenne est proche de la valeur vraie. Les deux qualités sont indépendantes — et la cible en bas à gauche est la plus dangereuse : des mesures très groupées, donc très convaincantes, mais toutes fausses.

Le protocole compte autant que l'appareil. On croit souvent que la précision d'une mesure est une propriété de l'instrument. C'est faux : elle dépend aussi de la façon dont on s'en sert. Le même chronomètre au $1/100$ de seconde donne une mesure médiocre de la période d'un pendule si on chronomètre une oscillation, et une excellente mesure si on chronomètre dix oscillations avant de diviser par dix — le temps de réaction, lui, n'a pas été multiplié par dix.

2. Décrire une série de mesures

2.1 Moyenne et écart-type

On dispose de $n$ mesures indépendantes $x_1, x_2, \dots, x_n$ d'une même grandeur. Deux nombres suffisent à résumer la série.

La moyenne est la meilleure estimation de la valeur cherchée : $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.$

L'écart-type expérimental mesure la dispersion des valeurs autour de cette moyenne : $s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)^2}.$

Pourquoi $n-1$ et non $n$ ? Parce que la moyenne $\bar{x}$ a été calculée à partir des mesures elles-mêmes. Les écarts $x_i - \bar{x}$ sont donc, en moyenne, un peu plus petits que les écarts à la vraie valeur : diviser par $n$ sous-estimerait la dispersion. Sur la calculatrice ou le tableur, c'est la touche notée $s$ ou $\sigma_{n-1}$ (fonction ECARTYPE d'un tableur), jamais $\sigma_n$.

2.2 L'histogramme

Porter les mesures sur un histogramme rend la dispersion visible d'un seul coup d'œil : on découpe l'intervalle des valeurs en classes de même largeur, et on compte combien de mesures tombent dans chacune.

Sur une série nombreuse, l'histogramme prend souvent une allure symétrique en cloche autour de la moyenne. L'intervalle $[\bar{x}-s\,;\,\bar{x}+s]$ contient alors environ deux tiers des mesures : l'écart-type est bien la « largeur typique » du paquet.

Comment le tracer au tableur (c'est la capacité numérique du programme) :

1. saisir les mesures dans une colonne A ;
2. définir les bornes des classes dans une colonne B — des classes de même largeur, environ $\sqrt{n}$ classes pour $n$ mesures ;
3. compter les effectifs avec =NB.SI(A:A;"<"&B2)-NB.SI(A:A;"<"&B1), ou plus simplement avec la fonction FREQUENCE ;
4. tracer un diagramme en bâtons sans espace entre les barres — c'est ce qui distingue un histogramme d'un diagramme en bâtons ordinaire : les classes se touchent parce que la grandeur mesurée est continue.

3. L'incertitude-type

Définition. L'incertitude-type associée à la mesure d'une grandeur $x$, notée $u(x)$, est un nombre positif qui évalue la dispersion des valeurs qu'on peut raisonnablement attribuer à cette grandeur. Elle s'exprime dans la même unité que la grandeur mesurée.

Plus $u(x)$ est petite, plus la mesure est précise. Le programme distingue deux façons de l'évaluer, selon qu'on dispose ou non de plusieurs mesures.

3.1 Évaluation de type A — par la statistique

C'est le cas où la mesure a été répétée $n$ fois. L'incertitude-type sur la moyenne vaut alors

$\boxed{\;u(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}\;}$

où $s$ est l'écart-type expérimental de la série.

Le $\sqrt{n}$ au dénominateur traduit une idée simple : répéter la mesure améliore la précision. Mais il faut quadrupler le nombre de mesures pour diviser l'incertitude par deux ; la répétition coûte cher et rapporte de moins en moins.

Exemple. Huit binômes titrent la même solution et relèvent le volume versé à l'équivalence, en millilitres :

La moyenne vaut $\bar{V} = \dfrac{100{,}0}{8} = 12{,}50\ \mathrm{mL}$ et l'écart-type expérimental $s = 0{,}131\ \mathrm{mL}$, d'où

$u(\bar{V}) = \frac{0{,}131}{\sqrt{8}} = 0{,}046\ \mathrm{mL} \approx 0{,}05\ \mathrm{mL}.$

Le résultat de la classe s'écrit $V_{\text{éq}} = 12{,}50 \pm 0{,}05\ \mathrm{mL}$.

3.2 Évaluation de type B — toute autre approche

C'est le cas d'une mesure unique, où aucune statistique n'est possible : on n'a qu'un seul nombre. L'incertitude s'estime alors à partir de ce qu'on sait de l'instrument — tolérance gravée sur la verrerie, notice du constructeur, plus petite graduation.

Le raisonnement est toujours le même. On sait que la valeur vraie se trouve dans un intervalle de demi-largeur $a$ autour de la valeur lue, sans avoir la moindre raison de préférer un point de cet intervalle à un autre. Cette ignorance se modélise par une distribution rectangulaire, dont l'écart-type se calcule une fois pour toutes et vaut

$\boxed{\;u(x) = \frac{a}{\sqrt{3}}\;}$

Toutes les valeurs de l'intervalle sont jugées également plausibles : c'est le sens du plateau. L'incertitude-type $a/\sqrt{3} \approx 0{,}58\,a$ est nettement plus petite que la demi-largeur $a$, car elle mesure une dispersion typique, et non le pire cas possible.

Les trois situations courantes.

Exemple. Une burette graduée de $25\ \mathrm{mL}$ de classe A porte la tolérance $\pm\,0{,}03\ \mathrm{mL}$. Pour une lecture unique, $u(V) = \frac{0{,}03}{\sqrt{3}} = 0{,}017\ \mathrm{mL}.$

Prélever le même volume de $10\ \mathrm{mL}$ avec quatre récipients différents : l'incertitude-type relative passe de $0{,}12\ \%$ à près de $3\ \%$, soit un facteur 25. C'est la raison pour laquelle tout protocole quantitatif — préparation d'une solution étalon (chapitre 2), titrage (chapitre 6) — impose la verrerie de précision : le bécher gradué n'est pas un instrument de mesure, c'est un récipient.

Type A ou type B, ce n'est pas « rigoureux ou approximatif ». Les deux évaluations produisent le même objet mathématique : un écart-type. Le nom ne dit que la méthode d'obtention, jamais la qualité du résultat. Une évaluation de type B fondée sur une notice sérieuse peut être bien meilleure qu'un type A calculé sur trois mesures bâclées.

4. Écrire correctement le résultat d'une mesure

Un résultat de mesure s'écrit sous la forme

$x = \bar{x} \pm u(x) \quad \text{(unité)}$

avec deux règles d'écriture qui vont ensemble.

1. L'incertitude s'écrit avec un ou deux chiffres significatifs, jamais plus. Écrire $u = 0{,}046321\ \mathrm{mL}$ n'a aucun sens : c'est prétendre connaître son ignorance à la sixième décimale.
2. La valeur mesurée est arrêtée au même rang que l'incertitude. Un chiffre de $\bar{x}$ situé au-delà de l'incertitude n'a aucune signification physique.

Les chiffres significatifs d'un calcul. La même exigence vaut pour tout résultat calculé, même sans incertitude explicite : le résultat d'un produit ou d'un quotient s'écrit avec autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins. Si $m = 2{,}5\ \mathrm{g}$ (2 chiffres significatifs) et $V = 10{,}00\ \mathrm{mL}$ (4 chiffres), alors $\rho = \frac{2{,}5}{10{,}00} = 0{,}25\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}}$ et non $0{,}2500$. La calculatrice affiche dix chiffres ; neuf sont du bruit.

Attention aux zéros. Dans $0{,}0250\ \mathrm{g}$, les zéros de gauche ne comptent pas (ils ne font que placer la virgule) mais celui de droite compte : il y a trois chiffres significatifs. L'écriture scientifique lève toute ambiguïté : $2{,}50\times10^{-2}\ \mathrm{g}$.

5. Comparer un résultat à une valeur de référence

Beaucoup de mesures ont un but précis : vérifier une valeur connue par ailleurs — la masse volumique tabulée d'un liquide, la concentration écrite sur une étiquette, la valeur théorique d'une constante. En première, cette comparaison se conduit qualitativement, en confrontant l'écart à l'incertitude.

Le raisonnement. On compare l'écart $|\,\bar{x} - x_{\text{réf}}\,|$ à l'incertitude-type $u(x)$.

- Si l'écart est du même ordre que $u(x)$ (ou plus petit), le résultat est compatible avec la référence : la différence observée s'explique par la dispersion des mesures.

- Si l'écart est beaucoup plus grand que $u(x)$, le résultat n'est pas compatible : il faut chercher une erreur systématique dans le protocole ou l'instrument, ou remettre en cause la valeur de référence.

Deux groupes mesurent la masse volumique de l'éthanol ; la barre horizontale porte l'incertitude-type. À gauche, la valeur tabulée tombe à une demi-incertitude de la mesure : rien à signaler. À droite, elle en est éloignée de près de trois incertitudes — un écart que le hasard n'explique plus.

Exemple. On mesure la masse volumique de l'éthanol : $\rho = 0{,}805\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}}$ avec $u(\rho) = 0{,}006\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}}$. La table donne $0{,}789\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}}$ à $20\ ^\circ\mathrm{C}$.

L'écart vaut $0{,}016\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}}$, soit près de trois fois l'incertitude-type. Le résultat n'est pas compatible avec la valeur tabulée : on suspecte une erreur systématique — éthanol qui a absorbé l'humidité de l'air, verrerie mal séchée, ou température de $20\ ^\circ\mathrm{C}$ non respectée.

La statistique ne voit que le hasard. Tout ce que fournit une évaluation de type A, c'est la dispersion — donc l'erreur aléatoire. Une erreur systématique est parfaitement invisible dans ces calculs : elle décale la moyenne sans élargir le paquet. Seule la comparaison à une valeur de référence peut la révéler. C'est pour cela que ce paragraphe existe.

6. En pratique, au laboratoire

Trois questions à se poser devant n'importe quelle mesure, dans n'importe quel chapitre de l'année.

1. Ai-je une ou plusieurs mesures ? Une seule → type B, à partir de la notice ou de la graduation. Plusieurs → type A, avec $s/\sqrt{n}$. C'est la seule question qui décide de la formule.

2. Quelle est la grandeur la moins bien connue ? Dans une chaîne de mesures, c'est toujours le maillon le plus faible qui impose sa loi. Mesurer une masse au dixième de milligramme pour la diviser ensuite par un volume prélevé au bécher est un gaspillage : l'incertitude finale sera celle du bécher.

3. Mon résultat est-il crédible ? Comparer à un ordre de grandeur connu avant de conclure. Une masse volumique de liquide vaut quelques centaines à quelques milliers de $\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ ; une concentration de solution usuelle, entre $10^{-3}$ et $1\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$. Un résultat qui sort de ces ordres de grandeur signale presque toujours une erreur d'unité ou de conversion — pas une découverte.

Exercices corrigés

Exercice 1 — Série de mesures

Six mesures de la longueur d'onde d'un laser, en nanomètres : 632 ; 634 ; 631 ; 635 ; 633 ; 631.

a. Calculer la moyenne et l'écart-type expérimental. b. En déduire l'incertitude-type sur la moyenne. c. Écrire le résultat correctement.

Correction. a. $\bar{\lambda} = \dfrac{3796}{6} = 632{,}67\ \mathrm{nm}$ ; $s = 1{,}63\ \mathrm{nm}$. b. $u(\bar{\lambda}) = \dfrac{1{,}63}{\sqrt{6}} = 0{,}67\ \mathrm{nm}$. c. L'incertitude est arrondie à $0{,}7\ \mathrm{nm}$, donc la moyenne au dixième : $\lambda = 632{,}7 \pm 0{,}7\ \mathrm{nm}$.

Exercice 2 — Évaluation de type B

a. Une pipette jaugée de $20{,}00\ \mathrm{mL}$ porte la tolérance $\pm\,0{,}03\ \mathrm{mL}$. Donner $u(V)$. b. Une règle graduée au millimètre sert à mesurer une distance focale. Donner $u(f)$ pour une lecture unique. c. Un voltmètre affiche $4{,}62\ \mathrm{V}$ ; la notice annonce $\pm\,0{,}05\ \mathrm{V}$. Donner $u(U)$ et écrire le résultat.

Correction. a. $u(V) = \dfrac{0{,}03}{\sqrt{3}} = 0{,}017\ \mathrm{mL}$, soit $V = 20{,}00 \pm 0{,}02\ \mathrm{mL}$. b. La graduation vaut $d = 1\ \mathrm{mm}$, donc $a = 0{,}5\ \mathrm{mm}$ et $u(f) = \dfrac{0{,}5}{\sqrt{3}} = 0{,}29\ \mathrm{mm}$, soit $0{,}3\ \mathrm{mm}$. c. $u(U) = \dfrac{0{,}05}{\sqrt{3}} = 0{,}029\ \mathrm{V}$, d'où $U = 4{,}62 \pm 0{,}03\ \mathrm{V}$.

Exercice 3 — Choisir sa verrerie

Pour prélever $10\ \mathrm{mL}$ de solution, on hésite entre une pipette jaugée de $10{,}00\ \mathrm{mL}$ ($\pm\,0{,}02\ \mathrm{mL}$) et une éprouvette graduée de $10\ \mathrm{mL}$ ($\pm\,0{,}2\ \mathrm{mL}$). Comparer les incertitudes-types relatives.

Correction. $u_{\text{pipette}} = \frac{0{,}02}{\sqrt{3}} = 0{,}0115\ \mathrm{mL}, \qquad \frac{u}{V} = 0{,}12\ \%$ $u_{\text{éprouvette}} = \frac{0{,}2}{\sqrt{3}} = 0{,}115\ \mathrm{mL}, \qquad \frac{u}{V} = 1{,}15\ \%$ La pipette jaugée est dix fois plus précise. Ce facteur 10 se retrouvera tel quel sur toute concentration calculée à partir de ce volume.

Exercice 4 — Répéter, jusqu'où ?

Une série de 5 mesures donne $s = 0{,}20\ \mathrm{s}$. a. Quelle est l'incertitude-type sur la moyenne ? b. Combien de mesures faudrait-il pour la diviser par deux ? par dix ? c. Cette stratégie corrigerait-elle un chronomètre qui retarde systématiquement de $0{,}3\ \mathrm{s}$ ?

Correction. a. $u = \dfrac{0{,}20}{\sqrt{5}} = 0{,}089\ \mathrm{s}$, soit $0{,}09\ \mathrm{s}$. b. L'incertitude varie en $1/\sqrt{n}$ : la diviser par 2 demande $4\times5 = 20$ mesures, par 10 demande $100\times5 = 500$ mesures. c. Non. Un retard systématique décale toutes les mesures de la même quantité : la moyenne est décalée d'autant, et l'écart-type n'en garde aucune trace. Seule une comparaison à un chronomètre étalonné le révélerait.

Exercice 5 — Compatible ou pas ?

Un groupe mesure la concentration d'une solution de soude : $c = 0{,}102\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ avec $u(c) = 0{,}004\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$. L'étiquette du flacon annonce $0{,}100\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$. Un second groupe trouve $c' = 0{,}118\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ avec la même incertitude. Que conclure pour chacun ?

Correction. Premier groupe : l'écart vaut $0{,}002\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$, soit la moitié de l'incertitude-type. Le résultat est parfaitement compatible avec l'étiquette.

Second groupe : l'écart vaut $0{,}018\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$, soit 4,5 fois l'incertitude-type. Ce n'est pas du hasard. Il faut chercher une cause systématique : burette non rincée à la solution titrante, erreur de dilution, ou solution de soude carbonatée par l'air.

À retenir

Les deux évaluations de l'incertitude-type $\text{type A (mesures répétées)} : u(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}} \qquad\qquad \text{type B (mesure unique)} : u(x) = \frac{a}{\sqrt{3}}$

L'écriture du résultat — incertitude à un ou deux chiffres significatifs, valeur arrêtée au même rang : $x = \bar{x} \pm u(x)$

La comparaison à une référence, en première : qualitative. On compare l'écart $|\bar{x} - x_{\text{réf}}|$ à $u(x)$. Écart du même ordre → compatible. Écart beaucoup plus grand → erreur systématique à chercher.

Les trois réflexes

1. Une valeur sans incertitude ne se compare à rien. C'est l'incertitude qui autorise à conclure.
2. Répéter combat l'aléatoire, jamais le systématique. Une série très fidèle peut être entièrement fausse.
3. La calculatrice ne décide pas des chiffres significatifs. C'est la donnée la moins précise qui les impose.

Chapitre suivant : la quantité de matière et la composition d'un système chimique — première application, immédiate, des chiffres significatifs.

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