Physique-Chimie — Terminale

Décrire un mouvement — Physique-Chimie Terminale (chapitre 11)

Cinématique en terminale spécialité physique-chimie : vecteurs position, vitesse et accélération, coordonnées cartésiennes, repère de Frenet, mouvement…

Par ProfBot

Décrire un mouvement

Chapitre 11 — Mouvement et interactions · Terminale, spécialité physique-chimie

En première, on savait déjà que la variation du vecteur vitesse renseigne sur les forces. Ce chapitre lui donne son nom et son statut : cette variation, rapportée à la durée, s'appelle l'accélération, et c'est elle — et non la vitesse — que la deuxième loi de Newton reliera aux forces au chapitre 12.

Un avertissement s'impose d'emblée, parce qu'il coûte beaucoup de points. Dans la langue courante, « accélérer » signifie « aller plus vite ». En physique, un mouvement dont la vitesse est constante en valeur peut avoir une accélération non nulle — c'est le cas de tout mouvement circulaire uniforme. L'accélération mesure la variation du vecteur vitesse, direction comprise.

Au programme officiel. Vecteurs position, vitesse et accélération d'un point ; coordonnées cartésiennes. Coordonnées des vecteurs vitesse et accélération dans le repère de Frenet pour un mouvement circulaire. Mouvement rectiligne uniformément accéléré ; mouvement circulaire uniforme. Caractériser le vecteur accélération pour les mouvements rectiligne, rectiligne uniforme, rectiligne uniformément accéléré, circulaire et circulaire uniforme.

Capacité numérique : représenter, à l'aide d'un langage de programmation, des vecteurs accélération d'un point lors d'un mouvement.

Capacité mathématique : dériver une fonction.

1. Les trois vecteurs

1.1 Position, vitesse, accélération

Le mouvement d'un point $M$ est décrit dans un référentiel donné par son vecteur position $\overrightarrow{OM}(t)$, qui joint l'origine du repère au point mobile.

Définitions.

Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps :

$\boxed{\;\vec{v} = \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}\;}$

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps :

$\boxed{\;\vec{a} = \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t^2}\;}$

Unités : $\mathrm{m}$ pour la position, $\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ pour la vitesse, $\mathrm{m\cdot s^{-2}}$ pour l'accélération.

1.2 En coordonnées cartésiennes

Dériver un vecteur, c'est dériver chacune de ses coordonnées — le repère étant fixe.

$\overrightarrow{OM}\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t)\end{pmatrix} \qquad \vec{v}\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \\[6pt] \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \\[6pt] \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\end{pmatrix} \qquad \vec{a}\begin{pmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \\ \ddot{z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} \\[6pt] \dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} \\[6pt] \dfrac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}t^2}\end{pmatrix}$

La valeur de la vitesse — le nombre que lit un compteur — est la norme du vecteur : $v = \|\vec{v}\| = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2}.$

Une coordonnée peut être négative, une norme jamais. Un objet qui recule sur l'axe des $x$ a $\dot{x} < 0$ ; sa vitesse vaut pourtant $|\dot{x}| > 0$. Confondre la coordonnée algébrique et la norme est l'erreur la plus fréquente des exercices de cinématique.

1.3 Exploiter une chronophotographie

Sur un enregistrement où les positions $M_0, M_1, M_2, \dots$ sont relevées à intervalles réguliers $\tau$, on ne peut pas dériver : on approche la dérivée par un taux de variation, en utilisant les points de part et d'autre :

$\vec{v}(M_i) \approx \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\tau}, \qquad \vec{a}(M_i) \approx \frac{\vec{v}_{i+1} - \vec{v}_{i-1}}{2\tau}.$

Pourquoi encadrer le point plutôt que prendre $\overrightarrow{M_iM_{i+1}}/\tau$ ? Parce que la formule encadrée est centrée : elle donne la vitesse à l'instant $t_i$, alors que la seconde donne une vitesse moyenne entre $t_i$ et $t_{i+1}$, c'est-à-dire une valeur qui correspond plutôt à l'instant intermédiaire. Sur un mouvement accéléré, l'écart est parfaitement visible.

2. Le repère de Frenet

Pour un mouvement circulaire, les coordonnées cartésiennes sont maladroites : elles font apparaître des sinus et des cosinus là où la géométrie est simple. On préfère un repère lié au mobile, qui tourne avec lui.

Définition. Le repère de Frenet est constitué, en chaque point de la trajectoire :

- du vecteur $\vec{u}_t$, unitaire, tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement ;

- du vecteur $\vec{u}_n$, unitaire, normal, perpendiculaire au précédent et dirigé vers le centre du cercle.

Coordonnées dans le repère de Frenet (mouvement circulaire de rayon $R$) :

$\boxed{\;\vec{v} = v\,\vec{u}_t \qquad\qquad

\vec{a} = \underbrace{\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}}_{a_t}\,\vec{u}_t

\;+\; \underbrace{\frac{v^2}{R}}_{a_n}\,\vec{u}_n\;}$

Ce que dit chaque composante, et c'est tout l'intérêt de ce repère :

• la composante tangentielle $a_t = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$ traduit la variation de la valeur de la vitesse — c'est « accélérer » au sens courant ;
• la composante normale $a_n = \dfrac{v^2}{R}$ traduit la variation de la direction de la vitesse. Elle est toujours positive et toujours dirigée vers le centre.

Le vecteur $\vec{v}$ n'a pas de composante normale. C'est la définition même de la tangente : le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire, en tout point et pour tout mouvement. Un vecteur vitesse dessiné de travers sur une trajectoire courbe est une faute, pas une approximation.

3. Les mouvements de référence

Le programme demande de savoir caractériser le vecteur accélération pour cinq mouvements. Le tableau suivant les rassemble ; il est à connaître.

3.1 Le mouvement rectiligne uniformément accéléré

L'accélération est un vecteur constant, colinéaire à la vitesse. En projetant sur l'axe du mouvement, l'intégration successive donne

$a_x = a = \text{cte}, \qquad v_x(t) = a\,t + v_0, \qquad x(t) = \tfrac12\,a\,t^2 + v_0\,t + x_0.$

Uniformément accéléré ne veut pas dire « de plus en plus vite ». Si $\vec{a}$ et $\vec{v}$ sont de sens opposés, le mouvement est uniformément décéléré — un freinage constant, par exemple. Le mot « accéléré » désigne ici le fait que $\vec{a}$ est constant, pas son signe.

3.2 Le mouvement circulaire uniforme

La valeur de la vitesse est constante, donc $a_t = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0$ et il ne reste que la composante normale :

$\boxed{\;\vec{a} = \frac{v^2}{R}\,\vec{u}_n\;}$

Le vecteur accélération est donc centripète — dirigé vers le centre —, de norme constante, et perpendiculaire à la vitesse en tout point.

Les relations utiles, avec $T$ la période et $\omega$ la vitesse angulaire : $v = \frac{2\pi R}{T} = \omega R, \qquad \omega = \frac{2\pi}{T}, \qquad a = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R.$

Voilà le point qui heurte l'intuition, et il faut y insister. Un objet en mouvement circulaire uniforme a une vitesse dont la valeur ne change jamais, et pourtant son accélération n'est jamais nulle. C'est que sa direction change en permanence. Sans cette accélération — donc, par la deuxième loi de Newton, sans une force dirigée vers le centre —, l'objet partirait en ligne droite. C'est ce qui se passe quand une corde casse.

Capacité numérique

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

tau = 0.040                       # intervalle entre deux positions (s)
x = np.array([0.00, 0.12, 0.25, 0.40, 0.57, 0.76, 0.97])
y = np.array([0.00, 0.18, 0.32, 0.42, 0.48, 0.50, 0.48])

# vitesse : différence CENTRÉE sur chaque point (les bords sont exclus)
vx = (x[2:] - x[:-2]) / (2 * tau)
vy = (y[2:] - y[:-2]) / (2 * tau)

# accélération : même opération, appliquée aux vitesses
ax = (vx[2:] - vx[:-2]) / (2 * tau)
ay = (vy[2:] - vy[:-2]) / (2 * tau)

plt.plot(x, y, "o-")
plt.quiver(x[2:-2], y[2:-2], ax, ay, color="red", angles="xy")
plt.axis("equal"); plt.show()

Chaque dérivation coûte deux points. Avec 7 positions on obtient 5 vitesses, puis 3 accélérations : les extrémités n'ont pas de voisin des deux côtés. C'est pourquoi une chronophotographie doit être plus longue que la portion qu'on veut étudier. angles="xy" n'est pas un détail non plus : sans cette option, quiver oriente les flèches selon le rapport d'aspect de l'écran et non selon les données.

Exercices corrigés

Exercice 1 — Dériver des équations horaires

Un point mobile a pour équations horaires, en unités SI : $x(t) = 3t^2 - 2t, \qquad y(t) = 4t.$ a. Déterminer les coordonnées de $\vec{v}$ et de $\vec{a}$. b. Calculer la valeur de la vitesse à $t = 2{,}0\ \mathrm{s}$. c. Quelle est la nature du vecteur accélération ?

Correction. a. En dérivant coordonnée par coordonnée : $\vec{v}\begin{pmatrix} 6t - 2 \\ 4 \end{pmatrix}, \qquad \vec{a}\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}.$ b. À $t = 2{,}0\ \mathrm{s}$ : $v_x = 6\times2 - 2 = 10\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ et $v_y = 4\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$, donc $v = \sqrt{10^2 + 4^2} = \sqrt{116} = 10{,}8\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.$ c. Le vecteur $\vec{a}$ a des coordonnées constantes : il est constant, dirigé selon l'axe des $x$, de norme $6{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$.

Attention : le mouvement n'est pas rectiligne uniformément accéléré, car $\vec{a}$ n'est pas colinéaire à $\vec{v}$ (qui a une composante en $y$). La trajectoire est une parabole.

Exercice 2 — Mouvement circulaire uniforme

Un manège de rayon $R = 6{,}0\ \mathrm{m}$ effectue un tour en $T = 12\ \mathrm{s}$. a. Calculer la valeur de la vitesse d'un passager. b. Calculer son accélération et préciser sa direction. c. Comparer à l'intensité de la pesanteur.

Correction. a. $v = \dfrac{2\pi R}{T} = \dfrac{2\pi\times6{,}0}{12} = 3{,}14\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$. b. Le mouvement étant circulaire uniforme, $a_t = 0$ et $a = \frac{v^2}{R} = \frac{3{,}14^2}{6{,}0} = 1{,}64\ \mathrm{m\cdot s^{-2}},$ vecteur dirigé vers le centre du manège (centripète), de norme constante. c. $\dfrac{a}{g} = \dfrac{1{,}64}{9{,}81} = 0{,}17$ : l'accélération vaut $17\ \%$ de $g$. C'est modeste — assez pour être ressenti comme une poussée vers l'extérieur, pas assez pour être inconfortable.

Exercice 3 — Freinage

Une voiture roulant à $v_0 = 90\ \mathrm{km\cdot h^{-1}}$ freine avec une décélération constante et s'arrête en $\Delta t = 5{,}0\ \mathrm{s}$. a. Calculer l'accélération. b. Calculer la distance d'arrêt.

Correction. a. $v_0 = \dfrac{90}{3{,}6} = 25\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$. Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré, avec $v_x(t) = a t + v_0$. À l'arrêt, $v_x = 0$ : $a = \frac{0 - v_0}{\Delta t} = \frac{-25}{5{,}0} = -5{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}.$ Le signe négatif indique que $\vec{a}$ est de sens opposé à $\vec{v}$ : c'est un freinage. b. $x(t) = \tfrac12 a t^2 + v_0 t$, donc $d = \tfrac12\times(-5{,}0)\times5{,}0^2 + 25\times5{,}0 = -62{,}5 + 125 = 62{,}5\ \mathrm{m}.$

Contrôle : pour un mouvement uniformément accéléré, la distance vaut aussi $\bar{v}\,\Delta t$ avec $\bar{v} = (v_0+v_f)/2 = 12{,}5\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$, d'où $12{,}5\times5{,}0 = 62{,}5\ \mathrm{m}$ ✓.

Exercice 4 — Repère de Frenet

Une voiture aborde un virage de rayon $R = 50\ \mathrm{m}$ à $v = 20\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$, en accélérant de $2{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$ en valeur. Déterminer les composantes du vecteur accélération et sa norme.

Correction. $a_t = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 2{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}, \qquad a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{20^2}{50} = 8{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}.$ Les deux composantes étant perpendiculaires, la norme s'obtient par le théorème de Pythagore : $a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{2{,}0^2 + 8{,}0^2} = \sqrt{68} = 8{,}2\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}.$

Ce qu'il faut remarquer : la composante normale est quatre fois plus grande que la tangentielle. Dans un virage, c'est le changement de direction qui exige l'essentiel de l'effort, pas le changement de vitesse. C'est la raison physique pour laquelle on lève le pied avant un virage serré et non pendant.

Exercice 5 — La Terre

La Terre tourne sur elle-même en $23\ \mathrm{h}\ 56\ \mathrm{min}\ 4\ \mathrm{s}$, et son rayon vaut $R = 6{,}37\times10^{6}\ \mathrm{m}$. Calculer la vitesse et l'accélération d'un point de l'équateur, et commenter.

Correction. La période vaut $T = 23\times3600 + 56\times60 + 4 = 86\,164\ \mathrm{s}$. $v = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2\pi\times6{,}37\times10^{6}}{86\,164} = 4{,}65\times10^{2}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}},$ soit environ $1670\ \mathrm{km\cdot h^{-1}}$. $a = \frac{v^2}{R} = \frac{(4{,}65\times10^{2})^2}{6{,}37\times10^{6}} = 3{,}39\times10^{-2}\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}.$

Commentaire. Nous filons à plus de $1600\ \mathrm{km\cdot h^{-1}}$ sans rien sentir, parce que ce n'est pas la vitesse qui se ressent, mais l'accélération — et celle-ci ne vaut que $0{,}0339\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$, soit $0{,}35\ \%$ de $g$. C'est aussi pourquoi on pèse très légèrement moins à l'équateur qu'aux pôles.

À retenir

Les définitions $\vec{v} = \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}, \qquad \vec{a} = \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t^2}$ On dérive coordonnée par coordonnée. La valeur de la vitesse est la norme du vecteur.

Le repère de Frenet (mouvement circulaire de rayon $R$) $\vec{v} = v\,\vec{u}_t, \qquad \vec{a} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_t + \frac{v^2}{R}\,\vec{u}_n$ Le vecteur vitesse est toujours tangent ; la composante normale est toujours vers le centre.

Les mouvements de référence $\text{rectiligne uniforme} : \vec{a} = \vec{0} \qquad \text{rectiligne unif. accéléré} : \vec{a} = \text{cte, colinéaire à } \vec{v}$ $\text{circulaire uniforme} : \vec{a} = \frac{v^2}{R}\,\vec{u}_n \; \text{(centripète)}, \qquad v = \frac{2\pi R}{T} = \omega R.$

Sur une chronophotographie $\vec{v}(M_i) \approx \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\tau}$

Les trois réflexes

1. Vitesse constante en valeur $\neq$ accélération nulle. Le mouvement circulaire uniforme en est le contre-exemple permanent.
2. Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire, sans exception.
3. Distinguer coordonnée et norme. Une accélération de $-5{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$ a une norme de $5{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$ ; le signe dit le sens, pas la grandeur.

Chapitre suivant : la deuxième loi de Newton, qui relie enfin cette accélération aux forces qui la produisent.

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