Mathématiques — Première
Probabilités et dénombrement — Première Maths
Permutations, arrangements, combinaisons, coefficient binomial et probabilités.
Par ProfBot
Probabilités et dénombrement — Première Mathématiques
🎯 Objectif : Compter des configurations et calculer des probabilités avec des outils combinatoires.
1. Principe fondamental du dénombrement
Si une expérience se décompose en k étapes indépendantes, avec n₁ choix à l'étape 1, n₂ à l'étape 2, …, nₖ à l'étape k, alors le nombre total de façons de réaliser l'expérience est :
n₁ × n₂ × … × nₖ
Exemple : Un code de 4 chiffres (0-9) → 10⁴ = 10 000 codes possibles.
2. Factorielle
n! = n × (n-1) × … × 2 × 1
0! = 1
Exemples : 5! = 120, 4! = 24, 10! = 3 628 800
3. Arrangements (ordre important, sans répétition)
Nombre de façons de choisir et ordonner k éléments parmi n :
Aₙᵏ = n! / (n-k)! = n × (n-1) × … × (n-k+1)
Exemple : Podium (Or, Argent, Bronze) parmi 10 athlètes :
A₁₀³ = 10 × 9 × 8 = 720 podiums possibles
4. Combinaisons (ordre non important, sans répétition)
Nombre de façons de choisir k éléments parmi n (sans tenir compte de l'ordre) :
C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) (aussi noté ⁿCₖ ou (n k))
Propriétés :
C(n,0) = C(n,n) = 1
C(n,1) = C(n,n-1) = n
C(n,k) = C(n,n-k) (symétrie)
C(n,k) + C(n,k+1) = C(n+1,k+1) (relation de Pascal)
Exemple : Choisir 3 élèves parmi 10 pour un exposé :
C(10,3) = 10!/(3!×7!) = (10×9×8)/(3×2×1) = 120
5. Triangle de Pascal
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
La ligne n donne les C(n,0), C(n,1), …, C(n,n).
6. Formule du binôme de Newton
(a + b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ C(n,k) × aⁿ⁻ᵏ × bᵏ
Exemple : (x+1)⁴ = x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1
7. Application aux probabilités
Dans un espace probabiliste équiprobable :
P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles
Exemple : Tirer 5 cartes parmi 52, P(4 as) ?
- Cas possibles : C(52,5)
- Cas favorables : C(4,4) × C(48,1) (4 as + 1 autre carte)
P = C(4,4)×C(48,1) / C(52,5) = 1×48 / 2 598 960 ≈ 0,0000185
8. Probabilité conditionnelle (rappel)
P(A|B) = P(A∩B) / P(B) (si P(B) > 0)
Formule des probabilités totales :
P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B̄)P(B̄)
📝 Exercices
- Combien d'anagrammes pour le mot "MATHS" ? Pour "RADAR" ?
- Un comité de 4 membres parmi 7 femmes et 5 hommes, avec au moins 2 femmes. Combien de comités ?
- On tire 2 cartes parmi 52. P(deux cœurs) ?
- Développer (2x - 1)⁴.
- C(12,4) = ?
✅ À retenir
Arrangements (ordre) : Aₙᵏ = n!/(n-k)!
Combinaisons (sans ordre) : C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)
Symétrie : C(n,k) = C(n,n-k)
Pascal : C(n,k) + C(n,k+1) = C(n+1,k+1)
P(A) = cas favorables / cas possibles