Physique-Chimie — Terminale

Décroissance radioactive et transformations nucléaires — Physique-Chimie Terminale (chapitre 6)

Radioactivité en terminale spécialité physique-chimie : diagramme (N,Z), radioactivités alpha, bêta moins et bêta plus, lois de conservation, loi de…

Par ProfBot

Décroissance radioactive et transformations nucléaires

Chapitre 6 — Constitution et transformations de la matière · Terminale, spécialité physique-chimie

Un noyau radioactif ne vieillit pas. Il ne s'use pas, ne se fatigue pas, et rien ne permet de prévoir l'instant où il se désintégrera : un noyau vieux d'un milliard d'années a exactement la même chance de se désintégrer dans la seconde qui vient qu'un noyau fabriqué à l'instant. La désintégration est un phénomène parfaitement aléatoire à l'échelle d'un noyau.

Et pourtant, sur un échantillon qui en contient des milliards de milliards, cet aléatoire produit une loi d'une régularité si parfaite qu'on l'utilise pour dater des ossements, doser des médicaments et régler des horloges. C'est le paradoxe fondateur de ce chapitre : le hasard individuel engendre une certitude collective.

Le lien avec le chapitre 5 n'est pas une analogie : c'est la même équation différentielle, à ceci près qu'elle porte ici sur un nombre de noyaux et non sur une concentration.

Au programme officiel. Stabilité et instabilité des noyaux : diagramme $(N,Z)$, radioactivités $\alpha$ et $\beta$, équation d'une réaction nucléaire, lois de conservation. Évolution temporelle d'une population de noyaux radioactifs ; constante radioactive ; loi de décroissance radioactive ; temps de demi-vie ; activité. Radioactivité naturelle et applications à la datation ; applications dans le domaine médical ; protection contre les rayonnements ionisants.

Capacité mathématique : résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.

1. Pourquoi certains noyaux sont-ils instables ?

1.1 Le diagramme $(N,Z)$

Un noyau contient $Z$ protons et $N = A - Z$ neutrons. On le place dans un diagramme portant $N$ en abscisse et $Z$ en ordonnée. Les noyaux stables ne s'y répartissent pas au hasard : ils forment une bande étroite, la vallée de stabilité.

Deux forces s'affrontent dans un noyau. La répulsion électrique écarte les protons les uns des autres ; l'interaction forte, attractive mais de très courte portée, les retient ensemble. Pour les noyaux légers, l'équilibre se fait avec $N \approx Z$. Au-delà, il faut de plus en plus de neutrons — qui apportent de l'attraction sans ajouter de répulsion — pour compenser : la vallée s'écarte de la première bissectrice.

Au-delà de $Z = 82$ (le plomb), aucun noyau n'est stable. La répulsion électrique finit toujours par l'emporter, quel que soit le nombre de neutrons ajoutés.

1.2 Lire le diagramme

La position d'un noyau par rapport à la vallée annonce de quelle façon il va se désintégrer.

Dans chaque cas, la désintégration rapproche le noyau de la vallée. C'est ce qui rend le diagramme utile : il ne décrit pas seulement, il prédit.

2. Les réactions nucléaires

2.1 Les lois de conservation

Lois de conservation (lois de Soddy). Dans toute réaction nucléaire, il y a conservation :

- du nombre de nucléons $A$ (somme des nombres de masse) ;

- de la charge électrique, donc du nombre $Z$.

Ces deux lois suffisent à écrire n'importe quelle équation : on équilibre les $A$ en haut, les $Z$ en bas, et le noyau produit est identifié par son $Z$ dans la classification périodique.

2.2 Les trois radioactivités

Radioactivité $\alpha$ — émission d'un noyau d'hélium :

$^{A}_{Z}\mathrm{X} \;\rightarrow\; ^{A-4}_{Z-2}\mathrm{Y} \;+\; ^{4}_{2}\mathrm{He}$

Radioactivité $\beta^-$ — émission d'un électron :

$^{A}_{Z}\mathrm{X} \;\rightarrow\; ^{\;\;A}_{Z+1}\mathrm{Y} \;+\; ^{\;\;0}_{-1}\mathrm{e}$

Radioactivité $\beta^+$ — émission d'un positon :

$^{A}_{Z}\mathrm{X} \;\rightarrow\; ^{\;\;A}_{Z-1}\mathrm{Y} \;+\; ^{0}_{+1}\mathrm{e}$

D'où vient l'électron d'une désintégration $\beta^-$ ? Pas du cortège électronique — il vient du noyau. Un neutron s'y transforme en proton, en émettant un électron : $\mathrm{n} \rightarrow \mathrm{p} + \mathrm{e^-}$. C'est bien cohérent avec le diagramme : le noyau avait trop de neutrons, il en convertit un. De même, en $\beta^+$, un proton devient neutron.

L'émission $\gamma$ accompagne souvent les précédentes : le noyau produit, formé dans un état excité (noté $^{A}_{Z}\mathrm{Y}^*$), se désexcite en émettant un photon très énergétique. Ce n'est pas une transmutation : ni $A$ ni $Z$ ne changent. $^{A}_{Z}\mathrm{Y}^* \;\rightarrow\; ^{A}_{Z}\mathrm{Y} + \gamma$

Exemples à savoir écrire.

$^{238}_{\;92}\mathrm{U} \rightarrow ^{234}_{\;90}\mathrm{Th} + ^{4}_{2}\mathrm{He} \qquad\qquad ^{14}_{\;6}\mathrm{C} \rightarrow ^{14}_{\;7}\mathrm{N} + ^{\;\;0}_{-1}\mathrm{e}$

3. La loi de décroissance radioactive

3.1 L'équation différentielle

Sur un échantillon contenant $N(t)$ noyaux radioactifs, le nombre de désintégrations pendant une durée courte $\mathrm{d}t$ est proportionnel à $N$ — puisque chaque noyau a la même probabilité de se désintégrer — et à $\mathrm{d}t$. On pose donc

$\boxed{\;\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda\,N\;}$

où $\lambda$ est la constante radioactive, en $\mathrm{s^{-1}}$. C'est la probabilité qu'un noyau donné se désintègre par unité de temps ; elle ne dépend que de l'espèce de noyau — ni de la température, ni de la pression, ni de la forme chimique.

3.2 Résolution — démonstration

L'équation s'écrit $\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} + \lambda N = 0$ : c'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants, sans second membre. Ses solutions sont de la forme $N(t) = C e^{-\lambda t}$ avec $C$ constante.

La condition initiale $N(0) = N_0$ donne $C = N_0$, d'où

$\boxed{\;N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}\;}$

Vérification : en dérivant, $\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N_0 e^{-\lambda t} = -\lambda N(t)$ ✓, et $N(0) = N_0$ ✓.

3.3 Le temps de demi-vie

Définition. Le temps de demi-vie $t_{1/2}$ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents se sont désintégrés.

En écrivant $N(t_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2}$, il vient $e^{-\lambda t_{1/2}} = \dfrac12$, donc

$\boxed{\;t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \qquad\text{et}\qquad \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}\;}$

Chaque demi-vie divise la population par deux, quelle que soit la valeur de départ. Après $10\,t_{1/2}$, il reste moins d'un millième des noyaux initiaux.

Quelques temps de demi-vie, pour l'ordre de grandeur :

Un temps de demi-vie court signifie une radioactivité intense mais brève. Les deux vont ensemble : $\lambda = \ln 2 / t_{1/2}$, donc plus $t_{1/2}$ est petit, plus $\lambda$ est grand, plus l'activité est forte. C'est pourquoi les isotopes utilisés en imagerie médicale ont des demi-vies de quelques heures : assez intenses pour être détectés, assez brefs pour disparaître du corps en une journée.

4. L'activité

Définition. L'activité $A$ d'un échantillon est le nombre de désintégrations par seconde. Elle s'exprime en becquerels ($\mathrm{Bq}$) : $1\ \mathrm{Bq} = 1$ désintégration par seconde.

$\boxed{\;A(t) = \lambda\,N(t) = A_0\,e^{-\lambda t}\;}$

L'activité suit donc la même loi de décroissance que le nombre de noyaux — ce qui est précieux, car $N$ ne se mesure pas directement, alors que $A$ se lit sur un compteur.

Exemple. Quelle est l'activité de $1{,}0\ \mathrm{\mu g}$ d'iode 131 ($t_{1/2} = 8{,}0$ jours, $M = 131\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$) ?

Nombre de noyaux : $N = \frac{m}{M}\,N_A = \frac{1{,}0\times10^{-6}}{131}\times 6{,}02\times10^{23} = 4{,}60\times10^{15}.$ Constante radioactive : $\lambda = \frac{\ln 2}{8{,}0\times24\times3600} = 1{,}00\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}}.$ Activité : $A = \lambda N = 1{,}00\times10^{-6}\times4{,}60\times10^{15} = 4{,}6\times10^{9}\ \mathrm{Bq} = 4{,}6\ \mathrm{GBq}.$

Le becquerel est une unité minuscule. Un corps humain adulte a une activité naturelle d'environ $8000\ \mathrm{Bq}$, due principalement au potassium 40 et au carbone 14 qu'il contient. Lire « on a détecté de la radioactivité » ne veut donc rien dire tant qu'on ne compare pas à ce bruit de fond.

5. La datation

Le principe est le même quel que soit le noyau utilisé : on mesure l'activité actuelle d'un échantillon, on connaît son activité initiale, et la loi de décroissance donne le temps écoulé.

De $A = A_0 e^{-\lambda t}$ on tire

$\boxed{\;t = \frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\frac{A_0}{A}\right) = \frac{t_{1/2}}{\ln 2}\,\ln\!\left(\frac{A_0}{A}\right)\;}$

La datation au carbone 14

Le carbone 14 se forme continuellement dans la haute atmosphère sous l'effet du rayonnement cosmique. Tant qu'un être vivant respire et se nourrit, il échange du carbone avec son milieu : la proportion de $^{14}\mathrm{C}$ dans son organisme reste constante, égale à celle de l'atmosphère. À sa mort, les échanges cessent : le $^{14}\mathrm{C}$ n'est plus renouvelé, il ne fait plus que décroître.

Le domaine de validité de la méthode. Au-delà de $50\,000$ ans environ — soit une dizaine de demi-vies —, il reste si peu de $^{14}\mathrm{C}$ que la mesure se noie dans le bruit de fond. Pour dater des roches ou des fossiles plus anciens, on utilise des couples à demi-vie beaucoup plus longue, comme l'uranium-plomb. Il n'existe pas de méthode universelle : on choisit le noyau selon l'âge présumé.

6. Applications médicales et radioprotection

6.1 En médecine

Le diagnostic (imagerie). On injecte un traceur faiblement radioactif, généralement émetteur $\gamma$ ou $\beta^+$, dont on suit la fixation par des caméras. La scintigraphie utilise le technétium 99m ; la TEP (tomographie par émission de positons) utilise le fluor 18, émetteur $\beta^+$. On cherche ici la dose la plus faible possible, et une demi-vie courte.

La thérapie (radiothérapie). On détruit des cellules tumorales par un rayonnement intense et localisé : cobalt 60 en source externe, iode 131 pour la thyroïde, curiethérapie par sources implantées. On cherche ici l'effet inverse — une dose forte, mais concentrée sur la tumeur.

6.2 Se protéger

Les rayonnements émis sont dits ionisants : ils arrachent des électrons aux atomes qu'ils traversent, ce qui endommage les molécules biologiques, l'ADN en premier lieu.

Les trois facteurs de protection, à savoir citer.

1. L'écran — la matière absorbe le rayonnement. Une feuille de papier arrête les $\alpha$ ; quelques millimètres d'aluminium arrêtent les $\beta$ ; il faut plusieurs centimètres de plomb ou de béton pour atténuer les $\gamma$, qu'on n'arrête d'ailleurs jamais complètement.
2. La distance — l'intensité décroît comme l'inverse du carré de la distance. S'éloigner de deux fois divise l'exposition par quatre : c'est le geste le plus efficace et le moins coûteux.
3. Le temps — la dose reçue est proportionnelle à la durée d'exposition. On limite donc le temps passé à proximité de la source.

Le paradoxe du rayonnement $\alpha$. C'est le moins pénétrant — il ne traverse même pas la peau — et pourtant le plus dangereux en cas d'ingestion ou d'inhalation. Justement parce qu'il est arrêté par très peu de matière : il dépose alors toute son énergie dans un très petit volume de tissu. À l'extérieur, un émetteur $\alpha$ est inoffensif ; à l'intérieur, c'est le pire. C'est le danger du radon dans les caves.

Exercices corrigés

Exercice 1 — Écrire des équations nucléaires

Compléter et identifier le type de radioactivité : a. $^{226}_{\;88}\mathrm{Ra} \rightarrow \;?\; + ^{4}_{2}\mathrm{He}$ b. $^{60}_{27}\mathrm{Co} \rightarrow ^{60}_{28}\mathrm{Ni} + \;?$ c. $^{18}_{\;9}\mathrm{F} \rightarrow \;?\; + ^{0}_{+1}\mathrm{e}$

Données : $Z = 86$ Rn, $Z = 8$ O.

Correction. a. Conservation : $A = 226 - 4 = 222$ et $Z = 88 - 2 = 86$, soit le radon : $^{226}_{\;88}\mathrm{Ra} \rightarrow ^{222}_{\;86}\mathrm{Rn} + ^{4}_{2}\mathrm{He} \qquad \text{radioactivité } \alpha.$ b. $A = 60 - 60 = 0$ et $Z = 27 - 28 = -1$ : c'est un électron. $^{60}_{27}\mathrm{Co} \rightarrow ^{60}_{28}\mathrm{Ni} + ^{\;\;0}_{-1}\mathrm{e} \qquad \text{radioactivité } \beta^-.$ c. $A = 18$ et $Z = 9 - 1 = 8$, soit l'oxygène : $^{18}_{\;9}\mathrm{F} \rightarrow ^{18}_{\;8}\mathrm{O} + ^{0}_{+1}\mathrm{e} \qquad \text{radioactivité } \beta^+.$

Exercice 2 — Décroissance

Un échantillon de cobalt 60 ($t_{1/2} = 5{,}3$ ans) a une activité initiale $A_0 = 3{,}7\times10^{10}\ \mathrm{Bq}$. a. Calculer $\lambda$ en $\mathrm{an^{-1}}$. b. Quelle est son activité au bout de 15 ans ? c. Au bout de combien de temps l'activité sera-t-elle tombée à $1\ \%$ de sa valeur initiale ?

Correction. a. $\lambda = \dfrac{\ln 2}{5{,}3} = 0{,}131\ \mathrm{an^{-1}}$. b. $A = A_0 e^{-\lambda t} = 3{,}7\times10^{10}\times e^{-0{,}131\times15} = 5{,}2\times10^{9}\ \mathrm{Bq}$.

Contrôle : 15 ans, c'est presque exactement $3\,t_{1/2}$ ($15{,}9$ ans), donc l'activité doit être un peu supérieure à $A_0/8 = 4{,}6\times10^9$ ✓.

c. $\dfrac{A}{A_0} = 0{,}01$ donne $t = \frac{1}{\lambda}\ln(100) = \frac{4{,}605}{0{,}131} = 35\ \mathrm{ans},$ soit un peu moins de $7\,t_{1/2}$ — ce qui est cohérent, puisque $2^{-7} = 0{,}008 < 0{,}01$.

Exercice 3 — Datation

Un fragment de charbon de bois prélevé dans une grotte présente une activité en carbone 14 de $30\ \%$ de celle d'un échantillon vivant de même masse. Dater le foyer. On donne $t_{1/2}(^{14}\mathrm{C}) = 5730$ ans.

Correction. $\lambda = \frac{\ln 2}{5730} = 1{,}210\times10^{-4}\ \mathrm{an^{-1}},$ $t = \frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\frac{A_0}{A}\right) = \frac{\ln(1/0{,}30)}{1{,}210\times10^{-4}} = \frac{1{,}204}{1{,}210\times10^{-4}} = 9{,}95\times10^{3}\ \mathrm{ans}.$

Le foyer a donc environ 10 000 ans.

Contrôle de vraisemblance : $30\ \%$, c'est entre $50\ \%$ (une demi-vie, 5730 ans) et $25\ \%$ (deux demi-vies, 11 460 ans), et plus près de la seconde — un âge d'environ 10 000 ans est bien dans cet intervalle ✓. Et cet âge reste très inférieur à la limite de $50\,000$ ans de la méthode, donc la datation est légitime.

Exercice 4 — Activité et masse

Calculer la masse de carbone 14 contenue dans un être humain de $70\ \mathrm{kg}$, dont l'activité due à ce seul isotope vaut environ $3{,}0\times10^{3}\ \mathrm{Bq}$. Données : $t_{1/2} = 5730$ ans, $M(^{14}\mathrm{C}) = 14{,}0\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$, $N_A = 6{,}02\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$.

Correction. Il faut d'abord $\lambda$ en $\mathrm{s^{-1}}$ : $\lambda = \frac{\ln 2}{5730 \times 365{,}25 \times 24 \times 3600} = 3{,}83\times10^{-12}\ \mathrm{s^{-1}}.$ De $A = \lambda N$ on tire $N = \frac{A}{\lambda} = \frac{3{,}0\times10^{3}}{3{,}83\times10^{-12}} = 7{,}83\times10^{14}\ \text{noyaux},$ puis $m = \frac{N}{N_A}\,M = \frac{7{,}83\times10^{14}}{6{,}02\times10^{23}}\times14{,}0 = 1{,}8\times10^{-8}\ \mathrm{g}.$

Moins de vingt nanogrammes suffisent à produire trois mille désintégrations par seconde. C'est l'illustration la plus parlante de ce qu'est le becquerel : une unité si petite qu'une quantité de matière indétectable à la balance en produit des milliers.

Le piège : convertir $t_{1/2}$ en secondes. Une constante radioactive laissée en $\mathrm{an^{-1}}$ donnerait une activité en « désintégrations par an » et un résultat faux d'un facteur $3{,}16\times10^{7}$.

Exercice 5 — Choisir un isotope

Pour une scintigraphie, on hésite entre deux traceurs de propriétés chimiques identiques : l'un de demi-vie $6$ heures, l'autre de demi-vie $6$ ans. Lequel choisir, et pourquoi ?

Correction. Le traceur de demi-vie 6 heures, sans hésitation, et pour deux raisons qui se renforcent.

L'activité. À nombre de noyaux égal, $A = \lambda N$ avec $\lambda = \ln 2/t_{1/2}$ : le traceur à 6 heures est environ $8800$ fois plus actif ($6$ ans $= 8766\,\times\,6$ heures). Une quantité de matière très faible suffit donc à obtenir un signal détectable.

L'élimination. Après une journée, le traceur à 6 heures a perdu $94\ \%$ de son activité ; celui à 6 ans en a perdu $0{,}03\ \%$ et continuera d'irradier le patient pendant des années.

Le principe général : en imagerie, on veut beaucoup de signal pendant l'examen et plus rien après. Une demi-vie courte donne exactement cela.

À retenir

Le diagramme $(N,Z)$ Trop de neutrons → $\beta^-$. Trop de protons → $\beta^+$. Trop de nucléons ($Z > 82$) → $\alpha$.

Les lois de conservation : $A$ et $Z$ se conservent. $^{A}_{Z}\mathrm{X} \rightarrow ^{A-4}_{Z-2}\mathrm{Y} + ^{4}_{2}\mathrm{He} \qquad ^{A}_{Z}\mathrm{X} \rightarrow ^{\;\;A}_{Z+1}\mathrm{Y} + ^{\;\;0}_{-1}\mathrm{e} \qquad ^{A}_{Z}\mathrm{X} \rightarrow ^{\;\;A}_{Z-1}\mathrm{Y} + ^{0}_{+1}\mathrm{e}$

La loi de décroissance $\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N \quad\Longrightarrow\quad N(t) = N_0e^{-\lambda t}, \qquad A(t) = \lambda N(t) = A_0e^{-\lambda t}, \qquad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}.$

La datation $t = \frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\frac{A_0}{A}\right) = \frac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\!\left(\frac{A_0}{A}\right).$

La radioprotection : écran, distance, temps.

Les trois réflexes

1. Convertir $t_{1/2}$ dans l'unité de temps de l'exercice avant de calculer $\lambda$. C'est l'erreur la plus fréquente et la plus coûteuse.
2. Contrôler par les demi-vies entières : si $A/A_0$ vaut $0{,}30$, la réponse doit tomber entre une et deux demi-vies.
3. Un émetteur $\alpha$ est inoffensif à distance et redoutable une fois ingéré — le pouvoir de pénétration et la dangerosité varient en sens inverse.

Chapitre suivant : l'équilibre chimique, où l'on quitte les transformations totales pour celles qui s'arrêtent en chemin.

Tous les cours · coursDeLion · La chaîne YouTube