Physique-Chimie — Terminale
Mesure et incertitudes — Physique-Chimie Terminale (chapitre 1)
Mesure et incertitudes en terminale spécialité physique-chimie : variabilité, écart-type, incertitude-type de type A et de type B, incertitudes composées,…
Par ProfBot
Mesure et incertitudes
Chapitre 1 — Méthodes · Terminale, spécialité physique-chimie
Un physicien qui annonce « la vitesse vaut $3{,}2\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ » n'a pas terminé sa phrase. Il manque la partie qui dit jusqu'où on peut le croire. Une mesure n'est jamais un nombre : c'est un nombre accompagné d'un doute chiffré, et c'est ce doute qui permet ensuite de trancher — deux résultats sont-ils d'accord ? une théorie est-elle démentie ? un lot de médicaments est-il conforme ?
Ce chapitre n'ajoute presque aucune formule nouvelle. Il installe un réflexe qui servira dans tous les autres chapitres, du titrage à la mesure de $g$ : dire ce qu'on mesure, dire de combien on peut se tromper, et écrire le résultat en conséquence.
Au programme officiel. Variabilité de la mesure d'une grandeur physique ; incertitude-type ; incertitudes-types composées ; écriture du résultat et comparaison à une valeur de référence.
Capacités numériques : représenter l'histogramme d'une série de mesures ; simuler un processus aléatoire illustrant une détermination avec incertitudes composées.
Capacité mathématique : exploiter moyenne et écart-type d'une série de valeurs.
1. Pourquoi une mesure varie
Refaites dix fois la même mesure, avec le même appareil et le même protocole : vous n'obtiendrez pas dix fois le même nombre. Cette variabilité n'est pas une faute de l'expérimentateur, c'est une propriété de la mesure elle-même. Elle a deux origines qu'il faut absolument distinguer.
Les erreurs aléatoires changent de valeur et de signe à chaque mesure : temps de réaction au chronomètre, dernière décimale qui fluctue sur l'afficheur, appréciation d'un changement de couleur. Elles dispersent les résultats autour de la bonne valeur. On les combat en répétant la mesure : la moyenne de plusieurs mesures est moins dispersée qu'une mesure isolée.
Les erreurs systématiques se répètent à l'identique, toujours dans le même sens : une balance mal tarée qui ajoute $0{,}5\ \mathrm{g}$ à chaque pesée, une burette mal rincée, une règle dilatée. Elles décalent toutes les mesures du même côté. Répéter la mesure ne les corrige pas — au contraire, cela donne l'illusion rassurante d'un résultat très reproductible, donc très sûr, et pourtant faux.
Une série de mesures est fidèle si les valeurs sont peu dispersées entre elles, juste si leur moyenne est proche de la valeur vraie. Les deux qualités sont indépendantes — et la cible en bas à gauche est la plus dangereuse : des mesures très fidèles, donc très convaincantes, mais toutes fausses.
La statistique ne voit que le hasard. Tout ce qui suit — écart-type, incertitude-type de type A — mesure la dispersion, donc l'erreur aléatoire. Une erreur systématique reste totalement invisible dans ces calculs. Seule la comparaison à une valeur de référence, au paragraphe 6, peut la révéler.
2. Décrire une série de mesures
2.1 Moyenne et écart-type
On réalise $n$ mesures indépendantes $x_1, x_2, \dots, x_n$ d'une même grandeur. Deux nombres résument la série.
La moyenne est la meilleure estimation de la valeur cherchée : $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.$
L'écart-type expérimental mesure la dispersion des valeurs autour de cette moyenne : $s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)^2}.$
Pourquoi $n-1$ et non $n$ ? Parce que la moyenne $\bar{x}$ a été calculée à partir des mesures elles-mêmes. Les écarts $x_i - \bar{x}$ sont donc, en moyenne, un peu plus petits que les écarts à la vraie valeur : diviser par $n$ sous-estimerait la dispersion. Sur une calculatrice ou un tableur, c'est la touche notée $s$ ou $\sigma_{n-1}$ — pas $\sigma_n$.
2.2 L'histogramme
Porter les mesures sur un histogramme rend la dispersion visible d'un coup d'œil : on découpe l'intervalle des valeurs en classes de même largeur, et on compte combien de mesures tombent dans chacune.
Sur une série nombreuse, l'histogramme prend souvent une allure en cloche, symétrique autour de la moyenne. L'intervalle $[\bar{x}-s\,;\bar{x}+s]$ contient alors environ deux tiers des mesures.
3. L'incertitude-type
Définition. L'incertitude-type associée à une mesure, notée $u(x)$, est un nombre positif qui évalue la dispersion des valeurs qu'on peut raisonnablement attribuer à la grandeur mesurée. Elle s'exprime dans la même unité que la grandeur.
Plus $u(x)$ est petit, plus la mesure est précise. Le programme distingue deux façons de l'évaluer.
3.1 Évaluation de type A — par la statistique
C'est le cas où l'on dispose de plusieurs mesures répétées. L'incertitude-type sur la moyenne vaut alors
$\boxed{\;u(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}\;}$
où $s$ est l'écart-type expérimental et $n$ le nombre de mesures.
Le $\sqrt{n}$ au dénominateur est la traduction chiffrée d'une idée simple : répéter la mesure améliore la précision. Mais il faut quadrupler le nombre de mesures pour diviser l'incertitude par deux — la répétition coûte cher et rapporte de moins en moins.
Exemple. On mesure dix fois la période $T$ d'un pendule, au chronomètre. Les valeurs, en secondes, sont
| 2,01 | 1,98 | 2,05 | 1,99 | 2,03 | 2,00 | 2,02 | 1,97 | 2,04 | 2,01 |
La moyenne vaut $\bar{T} = \dfrac{20{,}10}{10} = 2{,}010\ \mathrm{s}$. L'écart-type expérimental vaut $s = 0{,}0258\ \mathrm{s}$, d'où
$u(\bar{T}) = \frac{0{,}0258}{\sqrt{10}} = 0{,}0082\ \mathrm{s}.$
3.2 Évaluation de type B — toute autre approche
C'est le cas d'une mesure unique, où aucune statistique n'est possible. L'incertitude s'estime alors à partir de ce qu'on sait de l'instrument : notice du constructeur, tolérance gravée sur la verrerie, plus petite graduation.
Le raisonnement est toujours le même. On sait que la valeur vraie se trouve dans un intervalle de demi-largeur $a$ autour de la valeur lue, sans avoir la moindre raison de préférer un point de cet intervalle à un autre. Cette ignorance se modélise par une distribution rectangulaire, dont l'écart-type se calcule et vaut
$\boxed{\;u(x) = \frac{a}{\sqrt{3}}\;}$
L'incertitude-type $a/\sqrt{3} \approx 0{,}58\,a$ est nettement plus petite que la demi-largeur $a$ : elle mesure une dispersion typique, pas le pire cas possible.
Les trois situations courantes.
| Information disponible | Demi-largeur $a$ | Incertitude-type |
|---|---|---|
| Tolérance $\pm t$ gravée sur la verrerie | $a = t$ | $u = t/\sqrt{3}$ |
| Notice : « précision $\pm p$ » | $a = p$ | $u = p/\sqrt{3}$ |
| Lecture sur une échelle de graduation $d$ | $a = d/2$ | $u = d/(2\sqrt{3})$ |
Exemple. Une burette de classe A de $25\ \mathrm{mL}$ porte la tolérance $\pm 0{,}03\ \mathrm{mL}$. L'incertitude-type sur un volume versé vaut $u(V) = \frac{0{,}03}{\sqrt{3}} = 0{,}017\ \mathrm{mL}.$
Type A ou type B, ce n'est pas « statistique ou approximatif ». Les deux évaluations produisent le même objet : un écart-type. Elles se combinent d'ailleurs entre elles sans précaution particulière, comme on va le voir. Le nom ne dit que la méthode d'obtention, jamais la qualité du résultat.
4. Les incertitudes-types composées
Presque aucune grandeur intéressante ne se lit directement sur un appareil. Une masse volumique se calcule à partir d'une masse et d'un volume ; une concentration, à partir d'un volume versé et d'une concentration titrante. Chaque grandeur d'entrée apporte son incertitude, et il faut les combiner.
Règle de composition (la formule est toujours fournie le jour de l'épreuve).
Somme ou différence : si $y = a + b$ ou $y = a - b$, les incertitudes absolues se composent :
$u(y) = \sqrt{u(a)^2 + u(b)^2}.$
Produit ou quotient : si $y = \dfrac{a \times b}{c}$, ce sont les incertitudes relatives qui se composent :
$\frac{u(y)}{|y|} = \sqrt{\left(\frac{u(a)}{a}\right)^2 + \left(\frac{u(b)}{b}\right)^2 + \left(\frac{u(c)}{c}\right)^2}.$
Deux conséquences valent qu'on s'y arrête.
On additionne des carrés, pas des incertitudes. Deux sources d'incertitude ne s'ajoutent pas comme deux dettes : elles se compensent parfois. C'est la même racine carrée que dans le théorème de Pythagore, et ce n'est pas un hasard — des erreurs indépendantes se composent comme des vecteurs perpendiculaires.
La plus grande écrase les autres. Avec $u(a)/a = 10\ \%$ et $u(b)/b = 1\ \%$, la composition donne $\sqrt{0{,}10^2 + 0{,}01^2} = 0{,}1005$, soit $10{,}05\ \%$. Améliorer la mesure de $b$ ne servirait presque à rien : c'est le maillon faible qu'il faut renforcer. Ce raisonnement est souvent demandé à l'oral.
Exemple. On détermine la masse volumique d'un liquide. On pèse $m = 25{,}40\ \mathrm{g}$ avec $u(m) = 0{,}10\ \mathrm{g}$, dans une fiole de volume $V = 20{,}0\ \mathrm{mL}$ avec $u(V) = 0{,}2\ \mathrm{mL}$.
$\rho = \frac{m}{V} = \frac{25{,}40}{20{,}0} = 1{,}270\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}}.$
Incertitudes relatives : $\dfrac{u(m)}{m} = \dfrac{0{,}10}{25{,}40} = 0{,}39\ \%$ et $\dfrac{u(V)}{V} = \dfrac{0{,}2}{20{,}0} = 1{,}0\ \%$. D'où
$\frac{u(\rho)}{\rho} = \sqrt{0{,}0039^2 + 0{,}010^2} = 0{,}0107, \qquad u(\rho) = 1{,}270 \times 0{,}0107 = 0{,}014\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}}.$
C'est le volume qui commande : la balance est ici presque parfaite à côté de la fiole.
5. Écrire le résultat d'une mesure
Un résultat s'écrit sous la forme $x = \bar{x} \pm u(x) \quad \text{(unité)}$ en respectant deux règles d'écriture.
- L'incertitude s'écrit avec un ou deux chiffres significatifs, arrondis par excès — on ne triche jamais en sa faveur.
- La valeur mesurée s'arrête au même rang décimal que l'incertitude. Écrire $\rho = 1{,}27043 \pm 0{,}014$ est absurde : les trois derniers chiffres sont noyés dans un doute qui porte déjà sur le centième.
Ainsi, pour l'exemple précédent : $\rho = 1{,}270 \pm 0{,}014\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}} \qquad \text{ou} \qquad \rho = (1{,}270 \pm 0{,}014)\times 10^{3}\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.$
Et pour le pendule : $T = 2{,}010 \pm 0{,}008\ \mathrm{s}$.
L'erreur d'écriture la plus fréquente. Recopier tous les chiffres de la calculatrice. Une valeur affichée $9{,}8134527$ avec une incertitude de $0{,}05$ doit s'écrire $9{,}81 \pm 0{,}05$. Les chiffres au-delà ne sont pas « plus précis » : ils n'existent pas.
6. Comparer un résultat à une valeur de référence
C'est le but de tout l'édifice. On dispose d'un résultat de mesure $m_{\text{mes}}$ avec son incertitude $u(m)$, et d'une valeur de référence $m_{\text{réf}}$ — tabulée, théorique, ou issue d'un autre laboratoire. On calcule le quotient
$\boxed{\;z = \frac{\left|m_{\text{mes}} - m_{\text{réf}}\right|}{u(m)}\;}$
qui compte en nombre d'incertitudes-types l'écart observé.
| Valeur du quotient | Interprétation |
|---|---|
| $z \leqslant 2$ | Le résultat est compatible avec la référence : l'écart s'explique par la dispersion des mesures. |
| $z > 2$ | Le résultat est incompatible : l'écart est trop grand pour être un simple hasard. Il faut chercher une erreur systématique, ou remettre en cause le modèle. |
Le critère revient à demander si la valeur de référence tombe dans l'intervalle $[\bar{x}-2u\,;\bar{x}+2u]$.
Exemple 1 — compatible. La masse volumique mesurée plus haut vaut $1{,}270 \pm 0{,}014\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}}$ ; celle du glycérol tabulée à $20\ ^\circ\mathrm{C}$ vaut $1{,}261\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}}$. Alors $z = \frac{|1{,}270 - 1{,}261|}{0{,}014} = 0{,}64 \leqslant 2.$ Le liquide peut être du glycérol : rien dans la mesure ne s'y oppose.
Exemple 2 — incompatible. Un groupe mesure l'intensité de la pesanteur et trouve $g = 9{,}63 \pm 0{,}05\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$, alors que la valeur de référence est $9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$. Alors $z = \frac{|9{,}63 - 9{,}81|}{0{,}05} = 3{,}6 > 2.$ L'écart ne peut pas venir du hasard : il y a une erreur systématique dans le protocole — par exemple des frottements négligés, ou un déclenchement du chronomètre toujours trop tardif.
Un résultat « incompatible » n'est pas un mauvais résultat. C'est une information. Toute l'histoire de la physique est faite de mesures qui refusaient obstinément de coller à la théorie ; il a parfois fallu corriger le protocole, et parfois changer de théorie.
7. Les capacités numériques du programme
7.1 Tracer l'histogramme d'une série de mesures
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
mesures = [2.01, 1.98, 2.05, 1.99, 2.03, 2.00, 2.02, 1.97, 2.04, 2.01]
moyenne = np.mean(mesures)
ecart_type = np.std(mesures, ddof=1) # ddof=1 : le diviseur est n-1
u = ecart_type / np.sqrt(len(mesures)) # incertitude-type de type A
print(f"T = {moyenne:.3f} ± {u:.3f} s")
plt.hist(mesures, bins=5, edgecolor="black")
plt.axvline(moyenne, color="red", label="moyenne")
plt.xlabel("période T (s)")
plt.ylabel("effectif")
plt.legend()
plt.show()
ddof=1n'est pas un détail. Par défaut,np.stddivise par $n$ et renvoie donc un écart-type trop petit. Sur une série de 10 mesures, l'erreur atteint déjà $5\ \%$.
7.2 Simuler une détermination avec incertitudes composées
Plutôt que d'appliquer la formule de composition, on peut tirer au sort un grand nombre de fois les grandeurs d'entrée, calculer à chaque fois la grandeur de sortie, et regarder la dispersion obtenue. C'est la méthode dite de Monte-Carlo.
import numpy as np
N = 100_000
m = np.random.normal(25.40, 0.10, N) # masse et son incertitude-type
V = np.random.normal(20.0, 0.2, N) # volume et son incertitude-type
rho = m / V
print(f"rho = {rho.mean():.4f} g/mL")
print(f"u(rho) = {rho.std(ddof=1):.4f} g/mL") # ≈ 0,0136
La simulation retrouve $u(\rho) \approx 0{,}0136\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}}$, exactement ce que donnait la formule de composition au paragraphe 4. C'est une vérification, pas une nouvelle méthode : les deux approches disent la même chose, l'une par le calcul, l'autre par le dénombrement.
Exercices corrigés
Exercice 1 — Série de mesures
Huit mesures d'une longueur $L$ (en cm) donnent : 12,4 · 12,7 · 12,5 · 12,6 · 12,4 · 12,8 · 12,5 · 12,5. Calculer la moyenne, l'écart-type expérimental et l'incertitude-type, puis écrire le résultat.
Correction. Somme $= 100{,}4\ \mathrm{cm}$, donc $\bar{L} = \frac{100{,}4}{8} = 12{,}55\ \mathrm{cm}.$ Les écarts à la moyenne sont $-0{,}15$ ; $+0{,}15$ ; $-0{,}05$ ; $+0{,}05$ ; $-0{,}15$ ; $+0{,}25$ ; $-0{,}05$ ; $-0{,}05$, dont la somme des carrés vaut $0{,}14$. Donc $s = \sqrt{\frac{0{,}14}{7}} = 0{,}1414\ \mathrm{cm}, \qquad u(\bar{L}) = \frac{0{,}1414}{\sqrt{8}} = 0{,}050\ \mathrm{cm}.$ Résultat : $L = 12{,}55 \pm 0{,}05\ \mathrm{cm}$.
Exercice 2 — Évaluation de type B
Une pipette jaugée de $10{,}00\ \mathrm{mL}$ porte l'indication « $\pm\,0{,}02\ \mathrm{mL}$ ». Un voltmètre affiche $U = 4{,}62\ \mathrm{V}$ et sa notice annonce une précision de $\pm\,0{,}05\ \mathrm{V}$. Donner l'incertitude-type dans chaque cas.
Correction. Dans les deux cas, la tolérance donne directement la demi-largeur $a$ : $u(V_{\text{pip}}) = \frac{0{,}02}{\sqrt{3}} = 0{,}012\ \mathrm{mL}, \qquad u(U) = \frac{0{,}05}{\sqrt{3}} = 0{,}029\ \mathrm{V}.$ On écrira donc $V = 10{,}000 \pm 0{,}012\ \mathrm{mL}$ et $U = 4{,}62 \pm 0{,}03\ \mathrm{V}$.
Exercice 3 — Composition
On détermine une résistance par la loi d'Ohm, avec $U = 4{,}62\ \mathrm{V}$, $u(U) = 0{,}03\ \mathrm{V}$, $I = 21{,}5\ \mathrm{mA}$ et $u(I) = 0{,}4\ \mathrm{mA}$. Calculer $R$ et son incertitude-type. Quelle mesure faudrait-il améliorer en priorité ?
Correction. $R = \dfrac{U}{I} = \dfrac{4{,}62}{21{,}5\times10^{-3}} = 214{,}9\ \Omega$.
Incertitudes relatives : $\dfrac{u(U)}{U} = \dfrac{0{,}03}{4{,}62} = 0{,}65\ \%$ et $\dfrac{u(I)}{I} = \dfrac{0{,}4}{21{,}5} = 1{,}86\ \%$.
$\frac{u(R)}{R} = \sqrt{0{,}0065^2 + 0{,}0186^2} = 0{,}0197, \qquad u(R) = 214{,}9 \times 0{,}0197 = 4{,}2\ \Omega.$
Résultat : $R = 215 \pm 4\ \Omega$. C'est la mesure de l'intensité qui domine — son incertitude relative est presque trois fois plus grande. Améliorer le voltmètre ne changerait quasiment rien au résultat final.
Exercice 4 — Compatibilité
Un élève dose une solution d'acide et trouve $c = 5{,}12\times10^{-2}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ avec $u(c) = 0{,}09\times10^{-2}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$. L'étiquette du flacon annonce $5{,}00\times10^{-2}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$. Le résultat est-il compatible avec l'étiquette ?
Correction. $z = \frac{|5{,}12 - 5{,}00|\times 10^{-2}}{0{,}09\times10^{-2}} = \frac{0{,}12}{0{,}09} = 1{,}3.$ Comme $z \leqslant 2$, le résultat est compatible avec la valeur annoncée : l'écart de $2{,}4\ \%$ observé sur la concentration s'explique entièrement par la dispersion de la mesure.
Exercice 5 — Choix du protocole
Pour préparer $100{,}0\ \mathrm{mL}$ d'une solution, on hésite entre deux protocoles : (a) prélever $10{,}00\ \mathrm{mL}$ à la pipette jaugée ($\pm\,0{,}02\ \mathrm{mL}$) ; (b) prélever $10{,}0\ \mathrm{mL}$ à l'éprouvette graduée de $10\ \mathrm{mL}$ ($\pm\,0{,}2\ \mathrm{mL}$). Comparer les incertitudes-types relatives obtenues sur le volume prélevé.
Correction. $u_a = \frac{0{,}02}{\sqrt{3}} = 0{,}0115\ \mathrm{mL}, \qquad \frac{u_a}{V} = 0{,}12\ \%,$ $u_b = \frac{0{,}2}{\sqrt{3}} = 0{,}115\ \mathrm{mL}, \qquad \frac{u_b}{V} = 1{,}2\ \%.$ La pipette jaugée est dix fois plus précise que l'éprouvette. C'est la raison pour laquelle tout protocole de chimie quantitative impose la verrerie jaugée : le facteur 10 sur le volume se retrouvera tel quel sur la concentration finale.
À retenir
Les deux évaluations de l'incertitude-type $\text{type A (mesures répétées)} : u(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}} \qquad\qquad \text{type B (mesure unique)} : u(x) = \frac{a}{\sqrt{3}}.$
La composition — des carrés, jamais des incertitudes elles-mêmes. $y = a \pm b : \; u(y) = \sqrt{u(a)^2+u(b)^2} \qquad\qquad y = \frac{ab}{c} : \; \frac{u(y)}{|y|} = \sqrt{\left(\frac{u(a)}{a}\right)^2+\left(\frac{u(b)}{b}\right)^2+\left(\frac{u(c)}{c}\right)^2}.$
L'écriture : incertitude à un ou deux chiffres significatifs, valeur arrêtée au même rang. $x = \bar{x} \pm u(x)$
La comparaison à une référence $z = \frac{|m_{\text{mes}} - m_{\text{réf}}|}{u(m)}, \qquad z \leqslant 2 \Rightarrow \text{compatible}, \qquad z > 2 \Rightarrow \text{erreur systématique à chercher}.$
Les trois réflexes
- Une valeur sans incertitude ne se compare à rien. C'est l'incertitude qui autorise à conclure.
- Répéter combat l'aléatoire, jamais le systématique. Une série très fidèle peut être entièrement fausse.
- Chercher le maillon faible. Dans une composition, la plus grande incertitude relative impose sa loi ; c'est celle-là qu'il faut réduire.
Chapitre suivant : les transformations acide-base, premier grand chapitre de chimie de l'année.