Mathématiques — Première

Trigonométrie — Cercle trigonométrique et fonctions sin/cos — Première Maths

Cercle unité, radian, valeurs remarquables, sin, cos, tan et résolution d'équations.

Par ProfBot

Trigonométrie — Première Mathématiques

🎯 Objectif : Maîtriser le cercle trigonométrique et résoudre des équations trigonométriques.

1. Radian et cercle unité

Conversion :

radians = degrés × π/180
degrés  = radians × 180/π

2. Définitions sur le cercle unité

Pour un angle θ, sur le cercle de rayon 1 centré en O, le point M a pour coordonnées :

M = (cos θ, sin θ)

Identité fondamentale :

cos²θ + sin²θ = 1

3. Valeurs remarquables

💡 Astuce pour sin : lire les valeurs 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 — pour cos, lire dans l'ordre inverse.

4. Formules de symétrie

cos(-θ) = cos(θ)          (cos est paire)
sin(-θ) = -sin(θ)         (sin est impaire)

cos(π - θ) = -cos(θ)
sin(π - θ) = sin(θ)

cos(π + θ) = -cos(θ)
sin(π + θ) = -sin(θ)

cos(π/2 - θ) = sin(θ)
sin(π/2 - θ) = cos(θ)

5. Périodicité

cos(θ + 2π) = cos(θ)    (période 2π)
sin(θ + 2π) = sin(θ)    (période 2π)
tan(θ + π) = tan(θ)     (période π)

6. La tangente

tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)    (définie si cos(θ) ≠ 0)

Non définie en θ = π/2 + kπ (k ∈ ℤ)

Relations :

1 + tan²θ = 1/cos²θ

7. Résolution d'équations

cos(x) = cos(a) :

Solutions : x = a + 2kπ  ou  x = -a + 2kπ    (k ∈ ℤ)

sin(x) = sin(a) :

Solutions : x = a + 2kπ  ou  x = π - a + 2kπ    (k ∈ ℤ)

tan(x) = tan(a) :

Solutions : x = a + kπ    (k ∈ ℤ)

Exemple

Résoudre cos(x) = 1/2 sur [0 ; 2π].

cos(x) = cos(π/3)
x = π/3 + 2kπ  ou  x = -π/3 + 2kπ

Sur [0 ; 2π] :
x = π/3  ou  x = 2π - π/3 = 5π/3

8. Formules de duplication

cos(2x) = cos²x - sin²x = 2cos²x - 1 = 1 - 2sin²x
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
tan(2x) = 2tan(x)/(1 - tan²x)

📝 Exercices

1. Convertir 210° en radians et donner cos(210°) et sin(210°).
2. Résoudre sin(x) = √2/2 sur [0 ; 2π].
3. Démontrer que cos(2π/3) = -1/2 à partir des formules.
4. Calculer sin(π/12) en utilisant sin(π/3 - π/4).
5. Résoudre 2cos²x - cos(x) - 1 = 0 sur [0 ; 2π].

✅ À retenir

cos²θ + sin²θ = 1
Valeurs : sin(π/6)=1/2, sin(π/4)=√2/2, sin(π/3)=√3/2
cos(-θ)=cos(θ)    sin(-θ)=-sin(θ)
cos(π-θ)=-cos(θ)  sin(π-θ)=sin(θ)
Période 2π pour sin et cos

Tous les cours · coursDeLion · La chaîne YouTube