Mathématiques — Première
Dérivation — Règles et tableaux de variations — Première Maths
Définition de la dérivée, règles de calcul, sens de variation et équation de tangente.
Par ProfBot
Dérivation — Première Mathématiques
🎯 Objectif : Calculer des dérivées et dresser un tableau de variations.
1. Nombre dérivé en un point
Le nombre dérivé de f en a est la limite du taux d'accroissement :
f'(a) = lim [(f(a+h) - f(a)) / h] quand h → 0
Interprétation géométrique : f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
Équation de la tangente en x = a :
y = f'(a)(x - a) + f(a)
2. Dérivées des fonctions usuelles
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) | Condition |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | |
| xⁿ | nxⁿ⁻¹ | n ∈ ℤ |
| √x | 1/(2√x) | x > 0 |
| 1/x | -1/x² | x ≠ 0 |
| sin(x) | cos(x) | |
| cos(x) | -sin(x) |
3. Règles de calcul
(u + v)' = u' + v' (somme)
(k·u)' = k·u' (constante multiplicative)
(u × v)' = u'v + uv' (produit)
(u/v)' = (u'v - uv') / v² (quotient, v ≠ 0)
Dérivée d'une composée :
[f(u(x))]' = u'(x) × f'(u(x))
Exemples :
(sin(3x))' = 3cos(3x)
((2x+1)⁵)' = 5×2×(2x+1)⁴ = 10(2x+1)⁴
(√(x²+1))' = 2x / (2√(x²+1)) = x/√(x²+1)
4. Lien dérivée / sens de variation
| Signe de f'(x) sur I | Comportement de f sur I |
|---|---|
| f'(x) > 0 | f est croissante |
| f'(x) < 0 | f est décroissante |
| f'(a) = 0 (avec changement de signe) | extremum local en a |
⚠️ f'(a) = 0 ne suffit pas : il faut que f' change de signe.
5. Méthode — Tableau de variations
Étape 1 : Calculer f'(x)
Étape 2 : Résoudre f'(x) = 0 → trouver les valeurs critiques
Étape 3 : Étudier le signe de f'(x) sur chaque intervalle
Étape 4 : Remplir le tableau (flèches ↗ ou ↘)
6. Exemple complet
Étudier les variations de f(x) = x³ - 3x² + 2 sur ℝ.
f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)
f'(x) = 0 ⟺ x = 0 ou x = 2
f'(x) > 0 si x < 0 ou x > 2
f'(x) < 0 si 0 < x < 2
f(0) = 2 (maximum local)
f(2) = 8 - 12 + 2 = -2 (minimum local)
Tableau de variations :
x | -∞ 0 2 +∞
f'(x)| + 0 - 0 +
f(x) | -∞ ↗ 2 ↘ -2 ↗ +∞
7. Extremums sur un intervalle fermé
Sur [a, b], les extremums globaux sont atteints soit aux points critiques (f'(x) = 0), soit aux bornes.
Méthode : Calculer f à toutes ces valeurs et comparer.
📝 Exercices
- Calculer la dérivée de
f(x) = x⁴ - 2x² + 3 - Dériver
g(x) = (x²+1)/(x-1)et donner son domaine - Dériver
h(x) = sin(2x) + cos(x) - Étudier les variations de
f(x) = 2x³ - 3x² - 12x + 1 - Trouver l'équation de la tangente à
f(x) = x² - 3xau point d'abscisse 2
✅ À retenir
(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ (√x)' = 1/(2√x)
(uv)' = u'v + uv' (u/v)' = (u'v - uv')/v²
(f(u))' = u' × f'(u)
f'>0 → croissante f'<0 → décroissante
Tangente en a : y = f'(a)(x-a) + f(a)