Mathématiques — Première

Suites numériques — Première Maths

Suites arithmétiques et géométriques, terme général, somme des termes et applications.

Par ProfBot

Suites numériques — Première Mathématiques

🎯 Objectif : Maîtriser les suites arithmétiques et géométriques pour le Bac.

1. Généralités

Une suite est une fonction définie sur ℕ. On note ses termes u₀, u₁, u₂, …, uₙ.

Deux façons de définir une suite :

• Terme général : formule explicite, ex : uₙ = 3n + 1
• Relation de récurrence : uₙ₊₁ = g(uₙ) avec un terme initial

2. Suites arithmétiques

On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même raison r :

uₙ₊₁ = uₙ + r

Terme général :

uₙ = u₀ + n × r

Somme de n+1 termes (de u₀ à uₙ) :

S = (n+1) × (u₀ + uₙ) / 2

Exemple : u₀ = 5, r = 3

u₁ = 8,  u₂ = 11,  uₙ = 5 + 3n
u₁₀ = 35
Somme u₀ à u₁₀ = 11 × (5+35)/2 = 220

3. Suites géométriques

On passe d'un terme au suivant en multipliant par la raison q (q ≠ 0) :

uₙ₊₁ = uₙ × q

Terme général :

uₙ = u₀ × qⁿ

Somme de n termes (de u₀ à uₙ₋₁), q ≠ 1 :

S = u₀ × (1 − qⁿ) / (1 − q)

4. Représentation graphique

<svg viewBox="0 0 330 255" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="330" height="255" style="max-width:100%;height:auto;display:block;margin:14px auto;font-family:sans-serif"> <line x1="50.0" y1="220.0" x2="342.0" y2="220.0" stroke="#333" stroke-width="2"/> <polygon points="342,216 350,220 342,224" fill="#333"/> <line x1="55.0" y1="225.0" x2="55.0" y2="-12.0" stroke="#333" stroke-width="2"/> <polygon points="51,-12 55,-20 59,-12" fill="#333"/> <text x="357" y="224" text-anchor="middle" font-size="13" fill="#333" font-weight="bold">n</text> <text x="59" y="-27" text-anchor="middle" font-size="13" fill="#333" font-weight="bold">uₙ</text> <line x1="55.0" y1="216.0" x2="55.0" y2="224.0" stroke="#333" stroke-width="1.5"/> <text x="55" y="236" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555" font-weight="normal">0</text> <line x1="100.0" y1="216.0" x2="100.0" y2="224.0" stroke="#333" stroke-width="1.5"/> <text x="100" y="236" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555" font-weight="normal">1</text> <line x1="145.0" y1="216.0" x2="145.0" y2="224.0" stroke="#333" stroke-width="1.5"/> <text x="145" y="236" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555" font-weight="normal">2</text> <line x1="190.0" y1="216.0" x2="190.0" y2="224.0" stroke="#333" stroke-width="1.5"/> <text x="190" y="236" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555" font-weight="normal">3</text> <line x1="235.0" y1="216.0" x2="235.0" y2="224.0" stroke="#333" stroke-width="1.5"/> <text x="235" y="236" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555" font-weight="normal">4</text> <line x1="280.0" y1="216.0" x2="280.0" y2="224.0" stroke="#333" stroke-width="1.5"/> <text x="280" y="236" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555" font-weight="normal">5</text> <line x1="325.0" y1="216.0" x2="325.0" y2="224.0" stroke="#333" stroke-width="1.5"/> <text x="325" y="236" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555" font-weight="normal">6</text> <line x1="51.0" y1="175.0" x2="59.0" y2="175.0" stroke="#333" stroke-width="1.5"/> <text x="45" y="179" text-anchor="end" font-size="11" fill="#555" font-weight="normal">1</text> <line x1="51.0" y1="130.0" x2="59.0" y2="130.0" stroke="#333" stroke-width="1.5"/> <text x="45" y="134" text-anchor="end" font-size="11" fill="#555" font-weight="normal">2</text> <line x1="51.0" y1="85.0" x2="59.0" y2="85.0" stroke="#333" stroke-width="1.5"/> <text x="45" y="89" text-anchor="end" font-size="11" fill="#555" font-weight="normal">3</text> <line x1="51.0" y1="40.0" x2="59.0" y2="40.0" stroke="#333" stroke-width="1.5"/> <text x="45" y="44" text-anchor="end" font-size="11" fill="#555" font-weight="normal">4</text> <line x1="51.0" y1="-5.0" x2="59.0" y2="-5.0" stroke="#333" stroke-width="1.5"/> <text x="45" y="-1" text-anchor="end" font-size="11" fill="#555" font-weight="normal">5</text> <line x1="55.0" y1="175.0" x2="100.0" y2="130.0" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/> <circle cx="55" cy="175" r="5" fill="#2563eb" stroke="white" stroke-width="1.5"/> <line x1="100.0" y1="130.0" x2="145.0" y2="85.0" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/> <circle cx="100" cy="130" r="5" fill="#2563eb" stroke="white" stroke-width="1.5"/> <line x1="145.0" y1="85.0" x2="190.0" y2="40.0" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/> <circle cx="145" cy="85" r="5" fill="#2563eb" stroke="white" stroke-width="1.5"/> <line x1="190.0" y1="40.0" x2="235.0" y2="-5.0" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/> <circle cx="190" cy="40" r="5" fill="#2563eb" stroke="white" stroke-width="1.5"/> <line x1="235.0" y1="-5.0" x2="280.0" y2="-50.0" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/> <circle cx="235" cy="-5" r="5" fill="#2563eb" stroke="white" stroke-width="1.5"/> <circle cx="280" cy="-50" r="5" fill="#2563eb" stroke="white" stroke-width="1.5"/> <text x="212.5" y="50.5" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#2563eb" font-weight="normal">arith. (r=1)</text> <circle cx="55" cy="175" r="5" fill="#dc2626" stroke="white" stroke-width="1.5"/> <circle cx="100" cy="130" r="5" fill="#dc2626" stroke="white" stroke-width="1.5"/> <circle cx="145" cy="40" r="5" fill="#dc2626" stroke="white" stroke-width="1.5"/> <circle cx="190" cy="-5" r="5" fill="#dc2626" stroke="white" stroke-width="1.5"/> <circle cx="235" cy="-5" r="5" fill="#dc2626" stroke="white" stroke-width="1.5"/> <line x1="55.0" y1="175.0" x2="100.0" y2="130.0" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/> <line x1="100.0" y1="130.0" x2="145.0" y2="40.0" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/> <line x1="145.0" y1="40.0" x2="190.0" y2="-5.0" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/> <line x1="190.0" y1="-5.0" x2="235.0" y2="-5.0" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/> <text x="122.5" y="95.5" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="normal">géom. (q=2)</text>

</svg>

Suite arithmétique (bleue) : les points sont alignés (croissance linéaire).

Suite géométrique (rouge) : les points suivent une courbe exponentielle (croissance rapide).

5. Sens de variation

6. Application — Intérêts composés

Capital C₀ au taux t par an :

Cₙ = C₀ × (1 + t)ⁿ

C'est une suite géométrique de raison q = 1 + t.

7. Raisonnement par récurrence

1. Initialisation : vérifier pour n = n₀
2. Hérédité : supposer vrai au rang n, démontrer vrai au rang n+1
3. Conclusion : vrai pour tout n ≥ n₀

📝 Exercices

1. u₁ = 7, r = −2. Calculer u₁₀ et S = u₁ + … + u₁₀.
2. u₀ = 100, q = 0,9. Calculer u₅. À quel rang uₙ < 50 ?
3. uₙ₊₁ = 2uₙ − 1, u₀ = 3. Calculer u₁, u₂, u₃. Est-elle géométrique ?
4. Démontrer par récurrence que uₙ = 3n + 1.

✅ À retenir

Arith. : uₙ = u₀+nr    S = (n+1)(u₀+uₙ)/2
Géom.  : uₙ = u₀qⁿ     S = u₀(1−qⁿ)/(1−q)
r>0 → croissante    q>1 → croissante (uₙ>0)
Récurrence : init + hérédité + conclusion

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