Physique-Chimie — Terminale

Circuits RC — Charge et décharge d'un condensateur — Terminale

Cours complet sur les circuits RC en Terminale : condensateur (charge, énergie), équations différentielles de charge et décharge, constante de temps τ,…

Par ProfBot

Circuits RC — Charge et décharge d'un condensateur — Terminale Physique-Chimie

1. Le condensateur — Rappels et modélisation

Qu'est-ce qu'un condensateur ?

Un condensateur est un dipôle formé de deux armatures conductrices séparées par un isolant (diélectrique). Il stocke de l'énergie sous forme de champ électrique entre ses armatures.

En Terminale, on utilise le modèle du condensateur idéal.

Grandeurs caractéristiques

Capacité C (en farad, F) :

$q = C \cdot u_C$

où :

• q est la charge (en coulombs, C) sur l'armature positive
• u_C est la tension aux bornes du condensateur (en volts, V)
• C est la capacité (en F ; en pratique μF = 10⁻⁶ F ou nF = 10⁻⁹ F)

Relation courant-tension (convention récepteur) :

$i = C \cdot \frac{du_C}{dt}$

💡 Un condensateur ne laisse pas passer le courant continu en régime permanent — il se comporte comme un circuit ouvert une fois chargé.

Énergie stockée :

$E_C = \frac{1}{2} C \cdot u_C^2$

Conventions

• Convention récepteur : i entre dans la borne +, i = C · (du_C/dt)
• La tension u_C est toujours continue (ne peut pas faire de saut instantané)

2. Le circuit RC — Mise en place

Description du circuit

Un circuit RC série est composé de :

• Un générateur de tension continue E (pile ou générateur idéal)
• Un résistor de résistance R (en ohms, Ω)
• Un condensateur de capacité C (en farads, F)
• Un interrupteur K

     K            R
E ──/──────────┤├──────┐
│                      │
│          C           │
└──────────┤├──────────┘
         (condensateur)

La constante de temps τ

$\tau = R \cdot C$

• Unité : si R en Ω et C en F → τ en secondes
• τ est la grandeur fondamentale qui caractérise la rapidité de la charge/décharge
• Plus τ est petit, plus la charge/décharge est rapide

3. Charge du condensateur

Mise en place

À t = 0, le condensateur est déchargé (u_C(0) = 0). On ferme l'interrupteur K.

Équation différentielle

Loi des mailles :

$E = u_R + u_C = R \cdot i + u_C$

Avec i = C · du_C/dt :

$E = RC \cdot \frac{du_C}{dt} + u_C$

$\boxed{RC \cdot \frac{du_C}{dt} + u_C = E}$

C'est une équation différentielle du 1er ordre à coefficients constants.

Résolution

La solution générale est : u_C(t) = A·e^(−t/τ) + E

Avec la condition initiale u_C(0) = 0 : 0 = A + E → A = −E

Solution :

$\boxed{u_C(t) = E \left(1 - e^{-t/\tau}\right)} \quad \text{avec } \tau = RC$

Courant de charge :

$i(t) = C \cdot \frac{du_C}{dt} = \frac{E}{R} \cdot e^{-t/\tau}$

Tableau de valeurs caractéristiques

⚠️ En pratique, on considère la charge terminée après 5τ. Au-delà, i ≈ 0 et u_C ≈ E.

Allure des courbes

u_C(t) : courbe croissante, concave vers le bas, part de 0, tend asymptotiquement vers E.

i(t) : courbe décroissante, convexe, part de E/R, tend asymptotiquement vers 0.

u_R(t) = E − u_C(t) : même forme décroissante que i(t), car u_R = R·i.

Tangente à l'origine pour u_C

La tangente à la courbe u_C(t) en t = 0 a une pente :

$\left.\frac{du_C}{dt}\right|_{t=0} = \frac{E}{\tau}$

→ Cette tangente coupe l'asymptote horizontale u_C = E en t = τ.

C'est la méthode graphique pour déterminer τ expérimentalement.

4. Décharge du condensateur

Mise en place

On suppose le condensateur initialement chargé à U₀ (u_C(0) = U₀). On ouvre le circuit côté générateur, on ferme sur R seule.

Équation différentielle

Loi des mailles (sans générateur) :

$0 = u_R + u_C = R \cdot i + u_C$

$\Rightarrow \quad RC \cdot \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$

$\boxed{\frac{du_C}{dt} + \frac{u_C}{\tau} = 0}$

Résolution

Solution : u_C(t) = A·e^(−t/τ)

Avec u_C(0) = U₀ → A = U₀

$\boxed{u_C(t) = U_0 \cdot e^{-t/\tau}}$

Courant de décharge (convention récepteur, le courant sort de la borne +) :

$i(t) = C \cdot \frac{du_C}{dt} = -\frac{U_0}{R} \cdot e^{-t/\tau}$

Le signe négatif indique que le courant s'écoule en sens inverse de la charge.

Tableau de valeurs

💡 La tangente à u_C en t = 0 coupe l'axe des abscisses en t = τ (pente = −U₀/τ).

5. Comparaison charge / décharge

6. Bilan énergétique

Énergie stockée dans le condensateur

$E_C = \frac{1}{2} C \cdot u_C^2$

• En début de charge : E_C(0) = 0
• En fin de charge : E_C(∞) = ½ C E²

Énergie fournie par le générateur

$E_{gen} = \int_0^{\infty} E \cdot i \, dt = C \cdot E^2$

Énergie dissipée par le résistor

$E_R = \int_0^{\infty} R \cdot i^2 \, dt = \frac{1}{2} C E^2$

Bilan

$E_{gen} = E_C + E_R$ $C \cdot E^2 = \frac{1}{2}CE^2 + \frac{1}{2}CE^2$

💡 La moitié de l'énergie fournie est stockée dans le condensateur, l'autre moitié est dissipée par effet Joule dans le résistor — quelle que soit la valeur de R !

Bilan lors de la décharge

$E_R = E_C(0) = \frac{1}{2} C U_0^2$

Toute l'énergie stockée est dissipée dans le résistor.

7. Méthodes expérimentales

Détermination graphique de τ

Méthode 1 — Tangente à l'origine :

1. Tracer la tangente à la courbe u_C(t) en t = 0
2. Repérer l'intersection avec l'asymptote (u_C = E pour la charge, u_C = 0 pour la décharge)
3. L'abscisse de ce point est τ

Méthode 2 — Valeur à 63 % :

1. Calculer 0,63 × E
2. Repérer le temps correspondant sur la courbe u_C(t)
3. Ce temps est τ

Méthode 3 — Régression exponentielle :

• Linéariser : ln(u_C) = ln(U₀) − t/τ
• Tracer ln(u_C) en fonction de t → droite de pente −1/τ

Vérification de la loi RC

En mesurant τ expérimentalement et en comparant à τ_théo = R×C :

$\text{Écart relatif} = \frac{|\tau_{exp} - \tau_{théo}|}{\tau_{théo}} \times 100\ \%$

8. Influence des paramètres

Influence de R (C fixée)

Influence de C (R fixée)

💡 En pratique : pour un flash photo, on veut τ petit pour la charge (R faible) mais on stocke beaucoup d'énergie (C grande → énergie = ½CE² grande). La décharge est quasi instantanée.

9. Filtrage RC — Notions de base

Circuit RC passe-bas

Le condensateur est en sortie (u_S = u_C).

Pour un signal sinusoïdal d'entrée u_E de fréquence f :

$\frac{u_S}{u_E} = \frac{1}{\sqrt{1 + (RC \cdot 2\pi f)^2}}$

Fréquence de coupure : f_c = 1/(2πRC)

• Si f << f_c → u_S ≈ u_E (signal transmis)
• Si f >> f_c → u_S ≈ 0 (signal bloqué)

→ Le circuit passe les basses fréquences, filtre les hautes → filtre passe-bas.

Circuit RC passe-haut

Le résistor est en sortie (u_S = u_R).

$\frac{u_S}{u_E} = \frac{RC \cdot 2\pi f}{\sqrt{1 + (RC \cdot 2\pi f)^2}}$

• Si f >> f_c → u_S ≈ u_E (signal transmis)
• Si f << f_c → u_S ≈ 0 (signal bloqué)

→ Filtre passe-haut : laisse passer les hautes fréquences.

Applications du filtrage

10. Applications pratiques des circuits RC

11. Exemple numérique complet

Données

R = 10 kΩ = 10 000 Ω, C = 100 μF = 100×10⁻⁶ F, E = 12 V.

Calcul de τ :

τ = R×C = 10 000 × 100×10⁻⁶ = 1 s

Charge (u_C(0) = 0) :

u_C(t) = 12 × (1 − e^(−t))

• u_C(1 s) = 12 × (1 − e⁻¹) = 12 × 0,632 ≈ 7,58 V
• u_C(2 s) = 12 × (1 − e⁻²) = 12 × 0,865 ≈ 10,4 V
• u_C(5 s) = 12 × (1 − e⁻⁵) ≈ 12 × 0,993 ≈ 11,9 V ≈ E ✓

Courant initial :

i(0) = E/R = 12/10 000 = 1,2 mA

Énergie stockée à t = 5τ :

E_C = ½ × 100×10⁻⁶ × 12² = ½ × 100×10⁻⁶ × 144 = 7,2 mJ

Décharge depuis U₀ = 12 V :

u_C(t) = 12 × e^(−t)

• u_C(τ) = 12 × e⁻¹ ≈ 4,4 V (37 % de U₀ ✓)
• u_C(5τ) ≈ 0 V (décharge terminée)

12. Méthode de résolution d'exercices

Exercice type 1 — Étude théorique

1. Écrire l'équation différentielle (loi des mailles + relation i = C·du_C/dt)
2. Identifier la forme : τ·(du_C/dt) + u_C = valeur constante
3. Écrire la solution avec condition initiale
4. Calculer τ = RC
5. Dresser le tableau à t = 0, τ, 5τ, ∞

Exercice type 2 — Exploitation d'un graphe

1. Lire u_C(0) (condition initiale)
2. Lire la valeur limite (asymptote) → u_C(∞)
3. Tracer la tangente à l'origine → lire τ
4. Vérifier avec la valeur à 63 % (charge) ou 37 % (décharge)
5. En déduire R ou C si l'autre est connu

Exercice type 3 — Bilan énergétique

1. Calculer E_C(0) et E_C(∞)
2. Calculer l'énergie fournie par le générateur
3. En déduire l'énergie dissipée dans R
4. Vérifier la conservation d'énergie

Résumé — Les formules essentielles

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