Physique-Chimie — Terminale
Optique géométrique — Terminale Physique-Chimie
Cours complet d'optique géométrique en Terminale : lentilles convergentes et divergentes, vergence, foyers, construction d'images par les 3 rayons…
Par ProfBot
Optique géométrique — Terminale Physique-Chimie
Introduction
L'optique géométrique modélise la propagation de la lumière par des rayons lumineux en droite ligne dans un milieu homogène. Elle permet de comprendre le fonctionnement de la plupart des instruments d'optique : lunettes correctrices, loupe, microscope, appareil photo, télescope.
Hypothèses du modèle :
- La lumière se propage en rayons rectilignes
- Les lentilles sont minces (épaisseur négligeable devant les autres distances)
- On travaille en approximation de Gauss (rayons proches de l'axe optique et peu inclinés)
1. Les lentilles minces
Définition
Une lentille mince est un objet transparent délimité par deux surfaces sphériques (ou une sphérique et une plane) dont l'épaisseur est négligeable.
Lentille convergente (convexe)
- Plus épaisse au centre qu'aux bords
- Symbole : →|← (flèches pointant vers le centre)
- Fait converger un faisceau de rayons parallèles en un point
Exemples : loupe, objectif photo, cristallin de l'œil, verre correcteur pour hypermétrope
Lentille divergente (concave)
- Plus mince au centre qu'aux bords
- Symbole : ←|→ (flèches pointant vers l'extérieur)
- Fait diverger un faisceau de rayons parallèles
Exemples : verre correcteur pour myope, œilleton de lunettes de protection
2. Éléments caractéristiques d'une lentille
Centre optique O
Point de la lentille par lequel tout rayon passe sans déviation (mais avec décalage latéral nul pour une lentille mince).
Axe optique
Droite passant par O, perpendiculaire au plan de la lentille.
Foyers principaux
Foyer image F' : Tout rayon incident parallèle à l'axe optique passe, après refraction, par F'.
- Pour une lentille convergente : F' est réel, du côté de la lumière transmise (côté image)
- Pour une lentille divergente : F' est virtuel, du côté de la source
Foyer objet F : Tout rayon incident passant par F ressort parallèle à l'axe optique.
- Pour une lentille convergente : F est réel, du côté objet
- Pour une lentille divergente : F est virtuel, du côté image
Propriété symétrique : F et F' sont symétriques par rapport à O (pour une lentille mince dans le même milieu). $OF = -OF' = -f'$
3. Vergence et distance focale
Distance focale image f'
La distance focale image f' est la distance algébrique entre O et F' : $f' = \overline{OF'}$
- Lentille convergente : f' > 0 (F' réel)
- Lentille divergente : f' < 0 (F' virtuel)
Vergence V
La vergence (ou puissance) d'une lentille est l'inverse de la distance focale exprimée en mètres :
$\boxed{V = \frac{1}{f'}}$
Unité : la dioptrie (δ), symbole δ — 1 δ = 1 m⁻¹
| Type de lentille | f' | V | Exemple |
|---|---|---|---|
| Convergente | > 0 | > 0 | +4 δ → f' = 25 cm |
| Divergente | < 0 | < 0 | −2 δ → f' = −50 cm |
Exemple : Une lentille de vergence +6 δ a une distance focale f' = 1/6 ≈ 16,7 cm
4. Construction d'images — Les 3 rayons remarquables
Pour construire l'image A'B' d'un objet AB, on utilise 3 rayons issus du point B (extrémité hors axe) :
Rayon 1 — Parallèle à l'axe optique
Un rayon incident parallèle à l'axe optique repart après refraction en passant par F' (lentille convergente) ou en provenant de F' (lentille divergente).
Rayon 2 — Passant par le centre optique O
Un rayon passant par O n'est pas dévié. Il passe en ligne droite.
Rayon 3 — Passant par le foyer objet F
Un rayon incident passant par F (lentille convergente) ou dirigé vers F (lentille divergente) repart parallèle à l'axe optique.
🖊️ Méthode : On trace 2 des 3 rayons. Leur intersection après la lentille donne B'. On abaisse une perpendiculaire sur l'axe pour obtenir A'.
Cas d'une lentille convergente
Objet réel à gauche de la lentille :
| Position de l'objet | Position de l'image | Nature de l'image | Sens |
|---|---|---|---|
| À l'infini | En F' | Réelle | — |
| Au-delà de 2F (p > 2f') | Entre F' et 2F' | Réelle | Renversée |
| En 2F | En 2F' | Réelle | Renversée, même taille |
| Entre F et 2F | Au-delà de 2F' | Réelle | Renversée, agrandie |
| En F | À l'infini | — | — |
| Entre O et F | Du côté objet | Virtuelle | Droite, agrandie |
💡 Lorsque l'objet est entre O et F, l'image est virtuelle, droite et agrandie — c'est le principe de la loupe.
5. Formule de conjugaison
Convention algébrique
On oriente l'axe optique dans le sens de propagation de la lumière (gauche → droite).
Les distances algébriques sont comptées depuis O :
- $\overline{OA}$ = position algébrique de l'objet (négatif si objet à gauche de O)
- $\overline{OA'}$ = position algébrique de l'image
Formule de conjugaison (relation de Descartes)
$\boxed{\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} = V}$
Remarque : On peut aussi écrire : $\overline{OA'}\overline{OA} = f' \cdot \overline{OA'} - f' \cdot \overline{OA}$, mais la forme ci-dessus est à préférer.
Utilisation pratique
Données connues → inconnue à trouver :
Exemple 1 : Objet réel à 30 cm d'une lentille convergente de distance focale f' = 20 cm. $\overline{OA} = -30 \text{ cm}, \quad f' = +20 \text{ cm}$ $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{-30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$ $\overline{OA'} = +60 \text{ cm}$ → Image réelle (OA' > 0) à 60 cm de la lentille, du côté image.
Exemple 2 : Lentille divergente de vergence −5 δ. Objet à 40 cm. $f' = -20 \text{ cm}, \quad \overline{OA} = -40 \text{ cm}$ $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{-20} + \frac{1}{-40} = -\frac{2}{40} - \frac{1}{40} = -\frac{3}{40}$ $\overline{OA'} \approx -13{,}3 \text{ cm}$ → Image virtuelle (OA' < 0) du côté objet.
6. Grandissement transversal
Définition
Le grandissement transversal γ (gamma) caractérise la taille et l'orientation de l'image par rapport à l'objet :
$\boxed{\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}}$
Interprétation :
- |γ| > 1 : image agrandie
- |γ| < 1 : image réduite
- |γ| = 1 : image de même taille
- γ > 0 : image droite (même sens que l'objet)
- γ < 0 : image renversée (sens inversé)
Exemple (suite de l'exemple 1) : $\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{+60}{-30} = -2$ → Image renversée, 2 fois plus grande que l'objet.
7. Applications instrumentales
L'œil humain
L'œil est assimilable à un système optique convergent :
- Cristallin : lentille convergente de vergence variable (accommodation)
- Rétine : écran sur lequel se forme l'image (doit être réelle et renversée)
Punctum remotum (PR) : point le plus éloigné vu nettement (sans accommodation)
- Œil normal : PR à l'infini
- Myope : PR à distance finie
Punctum proximum (PP) : point le plus proche vu nettement (accommodation maximale)
- Œil normal : PP ≈ 25 cm (distance minimale de vision distincte D)
Défauts de l'œil :
| Défaut | Cause | Correction |
|---|---|---|
| Myopie | Œil trop long ou cristallin trop convergent | Lentille divergente (vergence < 0) |
| Hypermétropie | Œil trop court ou cristallin insuffisant | Lentille convergente (vergence > 0) |
| Presbytie | Perte d'accommodation (âge) | Verres progressifs |
| Astigmatisme | Courbure irrégulière | Verres toriques |
La loupe
La loupe est une lentille convergente utilisée pour regarder un objet placé entre O et F.
- L'image obtenue est virtuelle, droite et agrandie
- L'objet est placé légèrement en-deçà du foyer
- En pratique : on place l'objet au foyer → image à l'infini (observation sans fatigue)
Grossissement commercial G : $G = \frac{D}{f'} = D \cdot V \quad \text{(D = 25 cm = distance minimale de vision)}$
Exemple : Loupe de f' = 5 cm → G = 25/5 = ×5
Le microscope
Association de deux lentilles convergentes :
- Objectif (courte focale f₁) : crée une image intermédiaire réelle et agrandie de l'objet (entre F₁' et l'infini, pas loin de F₂)
- Oculaire (focale f₂) : se comporte comme une loupe, grossit l'image intermédiaire
Grossissement total : $G_{tot} = G_{obj} \times G_{oc} = \frac{\Delta}{f_1'} \times \frac{D}{f_2'}$
Δ = longueur optique (distance entre F₁' et F₂, comprise entre 10 et 20 cm environ)
La lunette astronomique (afocale)
Association de deux lentilles convergentes :
- Objectif (grande focale f₁) : objet à l'infini → image au foyer F₁'
- Oculaire (petite focale f₂) : F₁' coïncide avec F₂ → image finale à l'infini (observation sans fatigue)
Condition afocale : F₁' = F₂, donc distance entre lentilles = f₁' + f₂'
Grossissement commercial : $G = \frac{f_1'}{f_2'}$
Exemple : Objectif de f₁' = 900 mm, oculaire de f₂' = 25 mm → G = 900/25 = ×36
8. Exercices résolus
Exercice 1 — Construction et formule de conjugaison
Une lentille convergente a une vergence de +4 δ. Un objet AB (AB = 2 cm) est placé à 40 cm de la lentille.
1) Calculer f', puis OA'.
f' = 1/V = 1/4 = 0,25 m = 25 cm
OA = −40 cm (objet à gauche)
$\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{25} + \frac{1}{-40} = \frac{8}{200} - \frac{5}{200} = \frac{3}{200}$
$\overline{OA'} = \frac{200}{3} \approx 66{,}7 \text{ cm}$
2) Calculer γ et A'B'.
$\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{200/3}{-40} = \frac{200}{3 \times (-40)} = -\frac{5}{3} \approx -1{,}67$
$\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB} = -1{,}67 \times 2 = -3{,}33 \text{ cm}$
→ Image réelle, renversée, 1,67× agrandie, de taille 3,33 cm.
Exercice 2 — Lentille divergente
Une lentille divergente de distance focale f' = −30 cm. Objet réel à 20 cm.
$\overline{OA} = -20 \text{ cm}$
$\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{-30} + \frac{1}{-20} = -\frac{1}{30} - \frac{1}{20} = -\frac{2}{60} - \frac{3}{60} = -\frac{5}{60} = -\frac{1}{12}$
$\overline{OA'} = -12 \text{ cm}$
$\gamma = \frac{-12}{-20} = +0{,}6$
→ Image virtuelle (OA' < 0), droite (γ > 0), réduite (|γ| < 1).
Exercice 3 — Loupe
On observe un objet avec une loupe de vergence +20 δ. On souhaite voir l'image à l'infini.
1) Où placer l'objet ?
Pour une image à l'infini, l'objet doit être au foyer objet F.
f' = 1/20 = 5 cm → placer l'objet à 5 cm de la loupe.
2) Quel est le grossissement commercial ?
G = D/f' = 25/5 = ×5
→ Les détails apparaissent 5 fois plus grands.
Exercice 4 — Lunette astronomique
Une lunette afocale : objectif f₁' = 600 mm, oculaire f₂' = 20 mm.
1) Distance entre les lentilles :
d = f₁' + f₂' = 600 + 20 = 620 mm
2) Grossissement :
G = f₁'/f₂' = 600/20 = ×30
9. Points-clés et formules à retenir
| Formule | Description |
|---|---|
| $V = \dfrac{1}{f'}$ | Vergence en dioptries |
| $\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$ | Formule de conjugaison |
| $\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}$ | Grandissement transversal |
| $G_{loupe} = \dfrac{D}{f'} = D \cdot V$ | Grossissement loupe (D = 25 cm) |
| $G_{lunette} = \dfrac{f_1'}{f_2'}$ | Grossissement lunette afocale |
| $d_{lunette} = f_1' + f_2'$ | Longueur d'une lunette afocale |
10. Méthode — Résoudre un problème d'optique géométrique
- Identifier le type de lentille (convergente ou divergente) et noter f' (avec signe !)
- Positionner l'objet : noter OA (négatif si objet à gauche de O)
- Appliquer la formule de conjugaison : 1/OA' = 1/f' + 1/OA
- Calculer γ = OA'/OA
- Déduire la nature (réelle/virtuelle), le sens (droit/renversé) et la taille de l'image
- Si demandé : construire l'image avec 2 rayons remarquables
Résumé visuel des conventions de signe
Objet réel Source Lentille Écran/œil
AB lumière → O →
OA < 0 OA' > 0 (image réelle)
OA < 0 OA' < 0 (image virtuelle, côté objet)
Lentille convergente : f' > 0, V > 0 → fait converger les rayons Lentille divergente : f' < 0, V < 0 → fait diverger les rayons Image réelle : OA' > 0, se forme du côté image, observable sur écran Image virtuelle : OA' < 0, côté objet, non projetable sur écran mais visible à l'œil