Cours de Mathématiques Terminale

📈 Suites Numériques

1. Définitions et notations

Une suite numérique est une fonction définie sur ℕ (ou une partie de ℕ) à valeurs dans ℝ.

u : ℕ → ℝ
n ↦ u(n) = uₙ
(uₙ) = u₀, u₁, u₂, ..., uₙ, ...

Types de suites :
• Suite arithmétique : uₙ₊₁ = uₙ + r
• Suite géométrique : uₙ₊₁ = uₙ × q
• Suite définie par récurrence : uₙ₊₁ = f(uₙ)

2. Suites arithmétiques

Terme général : uₙ = u₀ + n×r
Somme des n premiers termes : Sₙ = n × (u₀ + uₙ)/2
Raison : r = uₙ₊₁ - uₙ

Exemple : Suite (uₙ) avec u₀ = 3 et r = 5
u₁ = 8, u₂ = 13, u₃ = 18, ...
uₙ = 3 + 5n
S₁₀ = 10 × (3 + 48)/2 = 255

3. Suites géométriques

Terme général : uₙ = u₀ × qⁿ
Somme : Sₙ = u₀ × (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q) si q ≠ 1
Raison : q = uₙ₊₁/uₙ

🧮 Calculatrice de suites

Suite arithmétique

Suite géométrique

🎯 Générateur de termes de suite

💡 Exercices interactifs

Exercice 1: Une suite arithmétique a pour premier terme u₀ = 7 et pour 5ᵉ terme u₅ = 27. Déterminez la raison r.

∞ Limites et Continuité

1. Limite d'une fonction

lim f(x) = L ⟺ ∀ε > 0, ∃α > 0 : |x - a| < α ⟹ |f(x) - L| < ε
x→a

Théorèmes de composition :
• lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)
• lim [f(x) × g(x)] = lim f(x) × lim g(x)
• lim [f(x)/g(x)] = lim f(x) / lim g(x) si lim g(x) ≠ 0

2. Formes indéterminées

Les formes indéterminées nécessitent une étude particulière :

• ∞ - ∞
• 0/0
• ∞/∞
• 0 × ∞
• 1^∞
• 0^0
• ∞^0

3. Limites remarquables

lim (sin x)/x = 1
x→0

lim (1 + 1/x)^x = e
x→∞

lim (eˣ - 1)/x = 1
x→0

🧮 Calculateur de limites

Entrez une fonction simple pour étudier sa limite :

📊 Dérivation

1. Définition de la dérivée

f'(a) = lim [f(a + h) - f(a)]/h
h→0

Équation de la tangente en a : y = f'(a)(x - a) + f(a)

2. Dérivées usuelles

(xⁿ)' = n×xⁿ⁻¹
(eˣ)' = eˣ
(ln x)' = 1/x
(sin x)' = cos x
(cos x)' = -sin x
(tan x)' = 1 + tan²x = 1/cos²x

3. Règles de dérivation

Règles de composition :
• (u + v)' = u' + v'
• (uv)' = u'v + uv'
• (u/v)' = (u'v - uv')/v²
• (u∘v)' = (u'∘v) × v'

4. Applications

Étude de fonctions :

f'(x) > 0 ⟹ f croissante sur I
f'(x) < 0 ⟹ f décroissante sur I
f'(a) = 0 ⟹ a est un extremum local potentiel

🧮 Calculateur de dérivées (approximation numérique)

∫ Intégration

1. Primitive et intégrale définie

∫ₐᵇ f(x)dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) - F(a)
où F est une primitive de f

Théorème fondamental :
Si f est continue sur [a,b], alors ∫ₐᵇ f(x)dx représente l'aire algébrique entre la courbe et l'axe des abscisses.

2. Primitives usuelles

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ -1)
∫ 1/x dx = ln|x| + C
∫ eˣ dx = eˣ + C
∫ sin x dx = -cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ 1/cos²x dx = tan x + C

3. Méthodes d'intégration

Intégration par parties :

∫ u'v dx = uv - ∫ uv' dx

Changement de variable :

∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du où u = g(x)

🧮 Calculateur d'intégrales (méthode des rectangles)

eˣ Fonction Exponentielle

1. Définition et propriétés

Définition : La fonction exponentielle est l'unique fonction f telle que :
• f'(x) = f(x) pour tout x ∈ ℝ
• f(0) = 1

Propriétés algébriques :
eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ
eᵃ⁻ᵇ = eᵃ / eᵇ
(eᵃ)ᵇ = eᵃˣᵇ
e⁰ = 1
e⁻ˣ = 1/eˣ

2. Étude de la fonction

Propriétés :
• Domaine de définition : ℝ
• Ensemble de valeurs : ℝ₊*
• Strictement croissante sur ℝ
• lim eˣ = 0 (x→-∞) et lim eˣ = +∞ (x→+∞)
• Convexe sur ℝ

3. Équations et inéquations

eˣ = eᵃ ⟺ x = a
eˣ = k ⟺ x = ln k (k > 0)
eˣ > eᵃ ⟺ x > a
eˣ > k ⟺ x > ln k (k > 0)

🧮 Calculatrice exponentielle

Résolution d'équations eˣ = k

ln Fonction Logarithme

1. Définition

Définition : La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
ln : ℝ₊* → ℝ
y = ln x ⟺ x = eʸ

Propriétés fondamentales :
ln(ab) = ln a + ln b
ln(a/b) = ln a - ln b
ln(aⁿ) = n ln a
ln 1 = 0
ln e = 1

2. Étude de la fonction

Propriétés :
• Domaine de définition : ℝ₊*
• Ensemble de valeurs : ℝ
• Strictement croissante sur ℝ₊*
• lim ln x = -∞ (x→0⁺) et lim ln x = +∞ (x→+∞)
• Concave sur ℝ₊*
• (ln x)' = 1/x

3. Équations et inéquations

ln x = ln a ⟺ x = a (x, a > 0)
ln x = k ⟺ x = eᵏ
ln x > ln a ⟺ x > a (x, a > 0)
ln x > k ⟺ x > eᵏ

🧮 Calculatrice logarithme

Résolution d'équations ln(x) = k

ℂ Nombres Complexes

1. Forme algébrique

z = a + bi où a, b ∈ ℝ et i² = -1
Re(z) = a (partie réelle)
Im(z) = b (partie imaginaire)
z̄ = a - bi (conjugué)

Opérations :
• (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• (a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
• z × z̄ = |z|² = a² + b²

2. Forme trigonométrique

z = r(cos θ + i sin θ) = re^(iθ)
r = |z| = √(a² + b²) (module)
θ = arg(z) (argument)
tan θ = b/a (si a ≠ 0)

3. Formule de De Moivre

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)
zⁿ = rⁿe^(inθ) = rⁿ(cos(nθ) + i sin(nθ))

🧮 Calculatrice nombres complexes

Forme algébrique → trigonométrique

Addition de complexes

📐 Géométrie dans l'Espace

1. Vecteurs dans l'espace

Vecteur AB⃗ = (xB - xA, yB - yA, zB - zA)
||u⃗|| = √(x² + y² + z²)
u⃗ · v⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ (produit scalaire)

Produit vectoriel :
u⃗ ∧ v⃗ = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂)
||u⃗ ∧ v⃗|| = ||u⃗|| ||v⃗|| sin(u⃗, v⃗)

2. Équations de droites et plans

Plan : ax + by + cz + d = 0
Droite paramétriques : {x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct}
Distance point-plan : d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|/√(a² + b² + c²)

3. Volumes

Formules de volumes :
• Sphère : V = (4/3)πr³
• Cylindre : V = πr²h
• Cône : V = (1/3)πr²h
• Pyramide : V = (1/3) × Aire_base × hauteur

🧮 Calculateur de géométrie

Produit scalaire de deux vecteurs

🎲 Probabilités

1. Probabilités conditionnelles

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) si P(B) > 0
P(A ∩ B) = P(A|B) × P(B) = P(B|A) × P(A)

Formule des probabilités totales :
Si (Bᵢ) est une partition de Ω, alors :
P(A) = Σᵢ P(A|Bᵢ) × P(Bᵢ)

2. Loi binomiale

X ~ B(n, p)
P(X = k) = C(n,k) × pᵏ × (1-p)ⁿ⁻ᵏ
E(X) = np
Var(X) = np(1-p)

Exemple : Lancer 10 fois une pièce équilibrée
X = "nombre de pile"
X ~ B(10, 0.5)
P(X = 6) = C(10,6) × (0.5)¹⁰ ≈ 0.205

3. Loi normale

X ~ N(μ, σ²)
f(x) = (1/(σ√(2π))) × e^(-(x-μ)²/(2σ²))
P(μ - σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0.68
P(μ - 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 0.95

🧮 Calculateur de probabilités

Loi binomiale B(n, p)

🎲 Lancer de dés - Simulation interactive

Simulation de loi normale

🎯 Exercice de probabilités

Problème: Dans une urne, il y a 5 boules rouges et 3 boules bleues. On tire 3 boules sans remise. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges ?

📊 Statistiques

1. Statistiques descriptives

Moyenne : x̄ = (1/n) × Σᵢ xᵢ
Variance : V(X) = (1/n) × Σᵢ (xᵢ - x̄)²
Écart-type : σ(X) = √V(X)
Médiane : valeur qui partage la série en deux

2. Corrélation linéaire

Coefficient de corrélation :
r = Cov(X,Y)/(σ(X) × σ(Y))
-1 ≤ r ≤ 1
|r| proche de 1 ⟹ forte corrélation linéaire

Droite de régression :
y = ax + b où a = Cov(X,Y)/Var(X)
et b = ȳ - ax̄

3. Intervalles de confiance

Intervalle de confiance à 95% pour la moyenne :
[x̄ - 1.96σ/√n ; x̄ + 1.96σ/√n]
(pour un échantillon de grande taille)

🧮 Calculateur statistique

Entrez des valeurs séparées par des virgules :