🔢 Mathématiques 6ème

🔢 Les Nombres

Entiers naturels

1. Les Entiers Naturels

Définition : Les entiers naturels sont les nombres entiers positifs (et zéro) : 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... On les note ℕ.

On peut les représenter sur une droite graduée. Chaque entier a un successeur (le suivant) et un prédécesseur (le précédent, sauf pour 0).

Exemples : 0, 7, 42, 1000, 1 000 000 sont des entiers naturels.
−3, 1,5 ne sont pas des entiers naturels.

Comparaison et rangement

Pour comparer deux entiers : on compte le nombre de chiffres. Le plus grand nombre de chiffres donne le plus grand entier. À même nombre de chiffres, on compare chiffre par chiffre de gauche à droite.

Exemple : 4 500 < 12 000 car 12 000 a plus de chiffres.
3 572 < 3 589 car en 3e position, 7 < 8.

Entiers décimaux

2. Les Nombres Décimaux

Définition : Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec une virgule. La partie entière se trouve à gauche de la virgule, la partie décimale à droite.

Rang	Centaines	Dizaines	Unités	,	Dixièmes	Centièmes	Millièmes
Exemple : 245,307	2	4	5	,	3	0	7

Lecture : 245,307 se lit « deux cent quarante-cinq virgule trois cent sept ».
245,307 = 245 + 3/10 + 0/100 + 7/1000

Encadrement et valeur approchée

Encadrer un nombre décimal à l'unité : trouver les deux entiers consécutifs entre lesquels il se trouve.

Exemple : 7 < 7,46 < 8 (encadrement à l'unité)
7,4 < 7,46 < 7,5 (encadrement au dixième)
Arrondi au dixième : 7,5 (car 7,46 → chiffre des centièmes = 6 ≥ 5)

Exercices

Exercices pratiques

1. Quel est le chiffre des dixièmes dans 38,457 ?

2. Arrondis 12,648 au dixième.

3. Range dans l'ordre croissant : 3,04 — 3,4 — 3,40 — 3,004

Réponse : 3,004 < 3,04 < 3,4 = 3,40
Astuce : 3,4 = 3,40 (zéros finaux non significatifs)

➕ Les Opérations

Addition & Soustraction

1. Addition de décimaux

Règle : Pour additionner des nombres décimaux, on aligne les virgules, puis on additionne chiffre par chiffre en partant de la droite.

Exemple : 12,45 + 7,8 = ?


   1 2 , 4 5
+   7 , 8 0
-----------
  2 0 , 2 5

2. Soustraction de décimaux

Exemple : 15,3 − 8,47 = ?


   1 5 , 3 0
−   8 , 4 7
-----------
    6 , 8 3

Multiplication

3. Multiplication de décimaux

Méthode : On multiplie comme des entiers (sans virgule), puis on place la virgule : le nombre de décimales du résultat = somme des décimales des deux facteurs.

Exemple : 3,4 × 2,5
34 × 25 = 850
3,4 a 1 décimale, 2,5 a 1 décimale → 1 + 1 = 2 décimales au résultat
→ 3,4 × 2,5 = 8,50 = 8,5

Multiplier par 10, 100, 1000…

Opération	Effet	Exemple
× 10	Virgule décale d'1 rang à droite	4,73 × 10 = 47,3
× 100	Virgule décale de 2 rangs à droite	4,73 × 100 = 473
× 1000	Virgule décale de 3 rangs à droite	4,73 × 1000 = 4730
÷ 10	Virgule décale d'1 rang à gauche	47,3 ÷ 10 = 4,73
÷ 100	Virgule décale de 2 rangs à gauche	473 ÷ 100 = 4,73

Division

4. Division euclidienne (entiers)

Division euclidienne : Diviser a par b, c'est trouver q (quotient) et r (reste) tels que :
a = b × q + r, avec 0 ≤ r < b

Exemple : 47 ÷ 5
47 = 5 × 9 + 2
Quotient = 9, Reste = 2

Division décimale

Exemple : 7,2 ÷ 4 = 1,8
Astuce : 7,2 ÷ 4 → 72 ÷ 4 = 18 → on redécale : 1,8

Priorités

5. Priorités des opérations

⚠️ Règles de priorité :

On effectue d'abord les calculs entre parenthèses.
Puis les multiplications et divisions (de gauche à droite).
Enfin les additions et soustractions (de gauche à droite).

Exemple : 3 + 4 × 2 = 3 + 8 = 11 (et non 14 !)
(3 + 4) × 2 = 7 × 2 = 14

Exercices

1. Calcule : 24,6 + 8,45 = ?

2. Calcule : 6,3 × 10 = ?

3. Division euclidienne : 83 ÷ 7. Quel est le reste ?

4. Calcule en respectant les priorités : 5 + 3 × 4 = ?

🍰 Les Fractions

Définition

1. Qu'est-ce qu'une fraction ?

Une fraction ab représente a parties d'un tout divisé en b parties égales.
a = numérateur | b = dénominateur (≠ 0)

Exemple : Une pizza coupée en 8 parts : manger 3 parts = 38 de la pizza.

Fractions et nombres décimaux

Fraction	Calcul	Décimal
1/2	1 ÷ 2	0,5
1/4	1 ÷ 4	0,25
3/4	3 ÷ 4	0,75
1/5	1 ÷ 5	0,2
3/10	3 ÷ 10	0,3

Comparer

2. Comparer des fractions

Même dénominateur : on compare les numérateurs.
Dénominateurs différents : on réduit au même dénominateur (on cherche le PPCM).

Exemple 1 (même dénominateur) : 37 < 57 car 3 < 5

Exemple 2 (dénominateurs différents) :
Comparer 2/3 et 3/4 → dénominateur commun = 12
2/3 = 8/12 3/4 = 9/12 donc 2/3 < 3/4

Simplifier

3. Simplifier une fraction

On simplifie en divisant numérateur et dénominateur par un même entier (leur PGCD). Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier.

Exemple : 1218 → PGCD(12, 18) = 6 → 12 ÷ 618 ÷ 6 = 23

Opérations

4. Addition et soustraction de fractions

Même dénominateur : ac + bc = a + bc

Exemple : 27 + 37 = 57 14 + 12 = 14 + 24 = 34

5. Multiplication de fractions

ab × cd = a × cb × d

Exemple : 23 × 35 = 615 = 25

Exercices

1. Simplifie la fraction 15/20 (donne le numérateur de la fraction irréductible)

2. Calcule 3/8 + 1/8 (donne le numérateur)

3. Calcule 1/4 × 2/3 (donne le numérateur de la fraction irréductible)

📐 Géométrie

Droites & points

1. Droites, demi-droites et segments

Objet	Notation	Caractéristiques
Droite	(AB) ou (d)	Infinie dans les deux sens
Demi-droite	[AB)	Origine A, infinie du côté B
Segment	[AB]	Longueur finie, extrémités A et B

Droites remarquables :
• Droites parallèles : ne se croisent jamais, même distance partout. Notation : (d) // (d')
• Droites perpendiculaires : se croisent à angle droit (90°). Notation : (d) ⊥ (d')

Angles

2. Les Angles

Type	Mesure	Symbole
Angle nul	0°
Angle aigu	Entre 0° et 90°
Angle droit	90° exactement	□ (équerre)
Angle obtus	Entre 90° et 180°
Angle plat	180°
Angle rentrant	Entre 180° et 360°

⚠️ Rappel : On mesure un angle avec un rapporteur. L'unité est le degré (°). La somme des angles dans un triangle est toujours 180°.

Figures planes

3. Les Figures Planes

▲

Triangle

3 côtés · 3 angles
Somme angles = 180°

⬜

Carré

4 côtés égaux
4 angles droits

▬

Rectangle

Côtés opposés égaux
4 angles droits

⬡

Cercle

Centre O, rayon r
Diamètre d = 2r

Périmètres

4. Périmètres

Figure	Formule	Exemple (unité: cm)
Carré (côté c)	P = 4 × c	c=5 → P = 20 cm
Rectangle (L×l)	P = 2 × (L + l)	L=6, l=4 → P = 20 cm
Triangle	P = a + b + c	3+4+5 = 12 cm
Cercle (rayon r)	P = 2 × π × r ≈ 2 × 3,14 × r	r=7 → P ≈ 43,96 cm

Aires

5. Aires

Figure	Formule	Exemple
Carré (côté c)	A = c²	c=5 → A = 25 cm²
Rectangle (L×l)	A = L × l	6×4 = 24 cm²
Triangle (base b, hauteur h)	A = (b × h) / 2	b=8, h=5 → A = 20 cm²
Disque (rayon r)	A = π × r² ≈ 3,14 × r²	r=3 → A ≈ 28,26 cm²

⚠️ Attention aux unités : 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² = 1 000 000 mm²

Exercices

1. Calcule le périmètre d'un rectangle de longueur 8 cm et largeur 3 cm.

2. Calcule l'aire d'un triangle de base 10 cm et de hauteur 6 cm.

3. Un carré a un périmètre de 36 cm. Quel est son côté ?

📏 Les Mesures et Conversions

Longueurs

1. Mesures de longueur

Tableau des unités de longueur

km	hm	dam	m	dm	cm	mm
kilomètre	hectomètre	décamètre	mètre	décimètre	centimètre	millimètre

Règle : Pour passer d'une unité à la suivante vers la droite → × 10
Pour passer d'une unité à la suivante vers la gauche → ÷ 10

Exemples : 3,5 km = 3 500 m | 45 cm = 0,45 m | 12 mm = 1,2 cm

Masses

2. Mesures de masse

Tableau des unités de masse

t	q	kg	hg	dag	g	dg	cg	mg
tonne	quintal	kilogramme	hectogramme	décagramme	gramme	décigramme	centigramme	milligramme

Exemples : 2,4 kg = 2 400 g | 750 g = 0,75 kg | 1 t = 1 000 kg

Contenances

3. Mesures de contenance (capacité)

Tableau des unités de contenance

kL	hL	daL	L	dL	cL	mL
kilolitre	hectolitre	décalitre	litre	décilitre	centilitre	millilitre

Exemples : 1,5 L = 150 cL = 1 500 mL | 50 cL = 0,5 L

Durées

4. Mesures de durée

Unité	Équivalence
1 minute (min)	60 secondes (s)
1 heure (h)	60 minutes = 3 600 secondes
1 jour (j)	24 heures
1 semaine	7 jours
1 an	365 jours (ou 366 pour les années bissextiles)

Exemple : Convertir 2 h 35 min en minutes :
2 h 35 min = (2 × 60) + 35 = 120 + 35 = 155 minutes

Exercices

Exercices de conversion

1. Convertis 4,2 km en mètres.

2. Convertis 3 500 g en kilogrammes.

3. Combien de minutes y a-t-il dans 3 h 20 min ?

⚖️ La Proportionnalité

Tableaux

1. Tableaux de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles si leur rapport est constant (= coefficient de proportionnalité).

Dans un tableau de proportionnalité, on passe d'une ligne à l'autre en multipliant (ou divisant) par le même nombre.

Exemple : Prix d'un article à 3 € l'unité :

Quantité (unités)	1	2	5	10
Prix (€)	3	6	15	30

Coefficient de proportionnalité : 3 (chaque fois, Prix = 3 × Quantité)

Propriété de linéarité

Dans un tableau de proportionnalité :
• Additivité : On peut additionner les colonnes.
• Multiplicativité : On peut multiplier les colonnes par un même nombre.

Exemple : Si 3 stylos coûtent 4,50 €, combien coûtent 7 stylos ?
Prix d'1 stylo = 4,50 ÷ 3 = 1,50 €
7 stylos = 7 × 1,50 = 10,50 €

Règle de trois

2. La Règle de Trois

La règle de trois (ou produit en croix) permet de trouver un terme inconnu dans un tableau de proportionnalité.

Si a → b et c → x, alors : x = (b × c) / a

Exemple : Si 4 cahiers coûtent 6 €, combien coûtent 10 cahiers ?

4 cahiers	→	6 €
10 cahiers	→	x €

x = (6 × 10) ÷ 4 = 60 ÷ 4 = 15 €

Pourcentages

3. Pourcentages (introduction)

Un pourcentage est un rapport avec 100.
p% = p/100

Exemples :
• 25% de 80 = (25 × 80) / 100 = 2000 / 100 = 20
• 10% de 60 = 6 (on divise par 10)
• 50% = la moitié

Exercices

1. Si 5 baguettes coûtent 6 €, quel est le prix de 8 baguettes ? (en €)

2. Calcule 20% de 150.

3. Une voiture parcourt 180 km en 2 heures. Combien de km en 5 heures (vitesse constante) ?

🧮 Calculatrice Interactive

Utilise cette calculatrice pour vérifier tes calculs ou explorer les opérations.

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Historique des calculs :

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