🔢 Nombres et Calculs
1. Nombres Relatifs
Les nombres relatifs comprennent les nombres positifs, négatifs et zéro.
Addition : (+a) + (+b) = +(a + b)
Soustraction : (+a) - (+b) = +(a - b)
Multiplication : (+a) × (-b) = -(a × b)
Exemple :
(-5) + (+3) = -2
(-4) × (-6) = +24
(+8) ÷ (-2) = -4
2. Règles de priorité
Dans un calcul avec plusieurs opérations :
- 1. Parenthèses d'abord
- 2. Puissances
- 3. Multiplications et divisions (de gauche à droite)
- 4. Additions et soustractions (de gauche à droite)
🍕 Fractions
1. Simplification
Pour simplifier une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
a/b = (a÷d)/(b÷d) où d = PGCD(a,b)
Exemple :
12/18 = (12÷6)/(18÷6) = 2/3
2. Addition et soustraction
Pour additionner ou soustraire des fractions :
- Même dénominateur : on additionne les numérateurs
- Dénominateurs différents : on réduit au même dénominateur
a/c + b/c = (a+b)/c
a/b + c/d = (ad+bc)/(bd)
3. Multiplication et division
Multiplication : a/b × c/d = (a×c)/(b×d)
Division : a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a×d)/(b×c)
⚡ Puissances
1. Définition
a^n = a × a × a × ... × a (n fois)
a^1 = a
a^0 = 1 (si a ≠ 0)
a^(-n) = 1/(a^n)
2. Règles de calcul
a^m × a^n = a^(m+n)
a^m ÷ a^n = a^(m-n)
(a^m)^n = a^(m×n)
(a×b)^n = a^n × b^n
Exemples :
2^3 × 2^4 = 2^7 = 128
10^5 ÷ 10^2 = 10^3 = 1000
(3^2)^3 = 3^6 = 729
3. Écriture scientifique
Tout nombre peut s'écrire sous la forme a × 10^n où 1 ≤ a < 10
Exemples :
1500 = 1,5 × 10^3
0,0025 = 2,5 × 10^(-3)
📝 Calcul Littéral
1. Expressions littérales
Une expression littérale contient des lettres qui représentent des nombres.
Exemples :
3x + 5 (x est une variable)
2a - 7b (a et b sont des variables)
2. Réduction d'expressions
On peut regrouper les termes de même nature.
3x + 5x = 8x
7a - 2a + 4a = 9a
2x + 3y - x + y = x + 4y
3. Distributivité
k(a + b) = ka + kb
k(a - b) = ka - kb
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Exemples :
3(x + 5) = 3x + 15
(x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6
4. Équations du premier degré
Pour résoudre ax + b = 0 :
Exemple :
2x + 6 = 0
2x = -6
x = -3
📐 Théorème de Pythagore
1. Énoncé du théorème
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
BC² = AB² + AC²
(où BC est l'hypoténuse)
2. Applications
Calculer une longueur :
- Si on connaît deux côtés, on peut calculer le troisième
- Hypoténuse : c² = a² + b² donc c = √(a² + b²)
- Côté de l'angle droit : a² = c² - b² donc a = √(c² - b²)
Exemple :
Triangle rectangle avec côtés 3 et 4
Hypoténuse = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
3. Réciproque
Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
📊 Cosinus d'un angle
1. Définition
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le rapport entre le côté adjacent à cet angle et l'hypoténuse.
cos(angle) = côté adjacent / hypoténuse
2. Applications
Calculer un côté :
- côté adjacent = hypoténuse × cos(angle)
- hypoténuse = côté adjacent / cos(angle)
Calculer un angle :
- angle = arccos(côté adjacent / hypoténuse)
Exemple :
Triangle rectangle, hypoténuse = 10, angle = 60°
côté adjacent = 10 × cos(60°) = 10 × 0,5 = 5
3. Valeurs remarquables
cos(0°) = 1
cos(30°) = √3/2 ≈ 0,866
cos(45°) = √2/2 ≈ 0,707
cos(60°) = 1/2 = 0,5
cos(90°) = 0
🔺 Géométrie
1. Triangle rectangle et cercle circonscrit
Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit.
Réciproque : Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre, alors ce triangle est rectangle.
2. Pyramide et cône
Pyramide :
- Volume = (1/3) × Aire de la base × hauteur
- Aire latérale = périmètre de la base × apothème / 2
Cône de révolution :
- Volume = (1/3) × π × r² × h
- Aire latérale = π × r × g (où g est la génératrice)
Pyramide : V = (1/3) × B × h
Cône : V = (1/3) × π × r² × h
3. Sections planes
La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone semblable à la base.
La section d'un cône par un plan parallèle à la base est un cercle.
⚖️ Proportionnalité
1. Tableau de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe de l'une à l'autre en multipliant par un même nombre (coefficient de proportionnalité).
Si a/b = c/d, alors a × d = b × c
(produits en croix)
2. Pourcentages
Un pourcentage est une proportion exprimée pour 100.
- t% de a = (t × a) / 100
- Augmentation de t% : a × (1 + t/100)
- Diminution de t% : a × (1 - t/100)
Exemples :
15% de 200 = (15 × 200) / 100 = 30
Augmenter 80 de 25% : 80 × 1,25 = 100
3. Vitesse, distance, temps
Vitesse = Distance / Temps
Distance = Vitesse × Temps
Temps = Distance / Vitesse
📈 Statistiques
1. Vocabulaire
- Population : ensemble étudié
- Individu : élément de la population
- Caractère : propriété étudiée
- Effectif : nombre d'individus ayant une modalité
- Fréquence : effectif / effectif total
2. Moyennes
Moyenne simple :
Moyenne = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n
Moyenne pondérée :
Moyenne = (x₁ × n₁ + x₂ × n₂ + ... + xₖ × nₖ) / (n₁ + n₂ + ... + nₖ)
3. Médiane
La médiane partage la série ordonnée en deux parties de même effectif.
- Si n est impair : médiane = valeur du rang (n+1)/2
- Si n est pair : médiane = moyenne des valeurs de rangs n/2 et n/2+1
4. Étendue
Étendue = valeur maximale - valeur minimale
🎲 Probabilités
1. Vocabulaire
- Expérience aléatoire : expérience dont on ne peut prévoir le résultat
- Issue : résultat possible d'une expérience
- Événement : ensemble d'issues
- Événement élémentaire : événement constitué d'une seule issue
2. Probabilité d'un événement
P(A) = nombre d'issues favorables / nombre d'issues possibles
Propriétés :
- 0 ≤ P(A) ≤ 1
- P(événement certain) = 1
- P(événement impossible) = 0
- P(A) + P(non A) = 1
3. Exemples
Lancer de dé :
P(obtenir 6) = 1/6
P(obtenir un nombre pair) = 3/6 = 1/2
P(obtenir un nombre ≤ 6) = 6/6 = 1
Tirage de carte :
P(tirer un as) = 4/52 = 1/13
P(tirer un cœur) = 13/52 = 1/4
🎲 Simulateur de probabilités
Lancer un dé 100 fois et observer les fréquences