Chapitre 1 : Calcul littéral et identités remarquables
1. Développement et factorisation
A. Développement simple
Développer une expression, c'est transformer un produit en somme.
k(a + b) = ka + kb
k(a - b) = ka - kb
Développer : 3(2x + 5)
3(2x + 5) = 3 × 2x + 3 × 5 = 6x + 15
3(2x + 5) = 3 × 2x + 3 × 5 = 6x + 15
B. Double distributivité
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Développer : (2x + 3)(x - 4)
(2x + 3)(x - 4) = 2x × x + 2x × (-4) + 3 × x + 3 × (-4)
= 2x² - 8x + 3x - 12
= 2x² - 5x - 12
(2x + 3)(x - 4) = 2x × x + 2x × (-4) + 3 × x + 3 × (-4)
= 2x² - 8x + 3x - 12
= 2x² - 5x - 12
2. Identités remarquables
Les trois identités remarquables :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²
(a + b)² ≠ a² + b²
Il ne faut pas oublier le double produit 2ab !
Il ne faut pas oublier le double produit 2ab !
Exemples d'application :
1) (x + 3)² = x² + 2×x×3 + 3² = x² + 6x + 9
2) (2x - 5)² = (2x)² - 2×2x×5 + 5² = 4x² - 20x + 25
3) (x + 7)(x - 7) = x² - 7² = x² - 49
1) (x + 3)² = x² + 2×x×3 + 3² = x² + 6x + 9
2) (2x - 5)² = (2x)² - 2×2x×5 + 5² = 4x² - 20x + 25
3) (x + 7)(x - 7) = x² - 7² = x² - 49
3. Factorisation
Factoriser, c'est transformer une somme en produit. C'est l'opération inverse du développement.
A. Facteur commun
Méthode :
- Identifier le facteur commun
- Le mettre en facteur
- Simplifier l'expression entre parenthèses
Factoriser : 6x² + 9x
Le facteur commun est 3x
6x² + 9x = 3x × 2x + 3x × 3 = 3x(2x + 3)
Le facteur commun est 3x
6x² + 9x = 3x × 2x + 3x × 3 = 3x(2x + 3)
B. Factorisation avec les identités remarquables
Reconnaître et factoriser :
1) x² + 10x + 25 = x² + 2×5×x + 5² = (x + 5)²
2) 4x² - 12x + 9 = (2x)² - 2×2x×3 + 3² = (2x - 3)²
3) x² - 16 = x² - 4² = (x + 4)(x - 4)
1) x² + 10x + 25 = x² + 2×5×x + 5² = (x + 5)²
2) 4x² - 12x + 9 = (2x)² - 2×2x×3 + 3² = (2x - 3)²
3) x² - 16 = x² - 4² = (x + 4)(x - 4)
✏️ Exercices d'application
Développer :
- (3x + 2)²
- (x - 5)(x + 5)
- (2x - 1)(3x + 4)
Factoriser :
- x² - 25
- 4x² + 8x
- x² + 14x + 49
Chapitre 2 : Équations et inéquations
1. Équations du premier degré
Forme générale : ax + b = 0 (avec a ≠ 0)
Solution : x = -b/a
Méthode de résolution :
- Développer et réduire chaque membre
- Regrouper les termes en x d'un côté
- Regrouper les constantes de l'autre côté
- Diviser par le coefficient de x
Résoudre : 3(x + 2) = 2x - 5
3x + 6 = 2x - 5
3x - 2x = -5 - 6
x = -11
3x + 6 = 2x - 5
3x - 2x = -5 - 6
x = -11
2. Équations produit nul
Propriété fondamentale :
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0
Résoudre : (2x - 3)(x + 5) = 0
2x - 3 = 0 ou x + 5 = 0
2x = 3 ou x = -5
x = 3/2 ou x = -5
L'équation a deux solutions : S = {-5 ; 3/2}
2x - 3 = 0 ou x + 5 = 0
2x = 3 ou x = -5
x = 3/2 ou x = -5
L'équation a deux solutions : S = {-5 ; 3/2}
3. Équations du type x² = a
• Si a > 0 : x² = a ⟺ x = √a ou x = -√a
• Si a = 0 : x² = 0 ⟺ x = 0
• Si a < 0 : pas de solution dans ℝ
• Si a = 0 : x² = 0 ⟺ x = 0
• Si a < 0 : pas de solution dans ℝ
Exemples :
1) x² = 16 ⟹ x = 4 ou x = -4
2) x² = 7 ⟹ x = √7 ou x = -√7
3) x² = -4 ⟹ Pas de solution (un carré est toujours positif)
1) x² = 16 ⟹ x = 4 ou x = -4
2) x² = 7 ⟹ x = √7 ou x = -√7
3) x² = -4 ⟹ Pas de solution (un carré est toujours positif)
4. Inéquations du premier degré
Règle importante :
Quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité !
Quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité !
Résoudre : -2x + 3 > 7
-2x > 7 - 3
-2x > 4
x < -2 (on divise par -2, donc on change le sens)
Solution : x ∈ ]-∞ ; -2[
-2x > 7 - 3
-2x > 4
x < -2 (on divise par -2, donc on change le sens)
Solution : x ∈ ]-∞ ; -2[
5. Systèmes d'équations
Deux méthodes principales :
• Substitution : exprimer une variable en fonction de l'autre
• Combinaison : éliminer une variable en combinant les équations
• Substitution : exprimer une variable en fonction de l'autre
• Combinaison : éliminer une variable en combinant les équations
Résoudre par substitution :
{ 2x + y = 7
{ x - y = 2
De la 2ème équation : x = y + 2
On remplace dans la 1ère : 2(y + 2) + y = 7
2y + 4 + y = 7
3y = 3
y = 1
Donc x = 1 + 2 = 3
Solution : (x ; y) = (3 ; 1)
{ 2x + y = 7
{ x - y = 2
De la 2ème équation : x = y + 2
On remplace dans la 1ère : 2(y + 2) + y = 7
2y + 4 + y = 7
3y = 3
y = 1
Donc x = 1 + 2 = 3
Solution : (x ; y) = (3 ; 1)
Chapitre 3 : Notion de fonction
1. Définition et vocabulaire
Une fonction f est un processus qui, à chaque nombre x, associe au plus un nombre, noté f(x).
Notation : f : x ↦ f(x)
On lit : "f est la fonction qui à x associe f(x)"
On lit : "f est la fonction qui à x associe f(x)"
Vocabulaire important :
• x est l'antécédent
• f(x) est l'image de x par f
• f(x) se lit "f de x"
• x est l'antécédent
• f(x) est l'image de x par f
• f(x) se lit "f de x"
2. Fonctions affines
Fonction affine : f(x) = ax + b
• a est le coefficient directeur
• b est l'ordonnée à l'origine
• a est le coefficient directeur
• b est l'ordonnée à l'origine
| Type de fonction | Forme | Représentation graphique |
|---|---|---|
| Fonction linéaire | f(x) = ax (cas où b = 0) | Droite passant par l'origine |
| Fonction affine | f(x) = ax + b | Droite |
| Fonction constante | f(x) = b (cas où a = 0) | Droite horizontale |
Exemple : f(x) = 2x - 3
• Coefficient directeur : a = 2 (fonction croissante)
• Ordonnée à l'origine : b = -3
• f(0) = -3 (la droite coupe l'axe des ordonnées en -3)
• f(5) = 2×5 - 3 = 7
• Coefficient directeur : a = 2 (fonction croissante)
• Ordonnée à l'origine : b = -3
• f(0) = -3 (la droite coupe l'axe des ordonnées en -3)
• f(5) = 2×5 - 3 = 7
3. Images et antécédents
Calculer une image : remplacer x par la valeur donnée
Calculer un antécédent : résoudre l'équation f(x) = valeur donnée
Calculer un antécédent : résoudre l'équation f(x) = valeur donnée
Soit f(x) = 3x - 2
1) Calculer f(4) :
f(4) = 3×4 - 2 = 12 - 2 = 10
2) Trouver l'antécédent de 7 :
On résout : 3x - 2 = 7
3x = 9
x = 3
L'antécédent de 7 est 3
1) Calculer f(4) :
f(4) = 3×4 - 2 = 12 - 2 = 10
2) Trouver l'antécédent de 7 :
On résout : 3x - 2 = 7
3x = 9
x = 3
L'antécédent de 7 est 3
4. Représentation graphique
Courbe représentative d'une fonction affine
Pour tracer une droite, il suffit de deux points :
- Placer le point (0 ; b) : ordonnée à l'origine
- Utiliser le coefficient directeur : si a = 2, on monte de 2 quand on avance de 1
5. Variations d'une fonction affine
Pour f(x) = ax + b :
• Si a > 0 : fonction croissante ↗
• Si a < 0 : fonction décroissante ↘
• Si a = 0 : fonction constante →
• Si a > 0 : fonction croissante ↗
• Si a < 0 : fonction décroissante ↘
• Si a = 0 : fonction constante →
Chapitre 4 : Théorème de Thalès
1. Configuration de Thalès
Le théorème de Thalès s'applique dans deux configurations principales :
Configuration 1 : Triangle
Deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles
Configuration 2 : Papillon
Deux droites sécantes de part et d'autre du point d'intersection
Deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles
Configuration 2 : Papillon
Deux droites sécantes de part et d'autre du point d'intersection
2. Énoncé du théorème
Théorème de Thalès :
Si (MN) // (BC), alors :
=
=
Si (MN) // (BC), alors :
AM
AB
AN
AC
MN
BC
Les rapports doivent être écrits dans le même ordre !
Petit côté sur grand côté ou grand côté sur petit côté.
Petit côté sur grand côté ou grand côté sur petit côté.
3. Application : Calculer une longueur
Problème :
Dans un triangle ABC, M ∈ [AB] et N ∈ [AC]
(MN) // (BC)
AM = 3 cm, AB = 5 cm, AN = 4,5 cm
Calculer AC.
Solution :
D'après le théorème de Thalès :
AM/AB = AN/AC
3/5 = 4,5/AC
AC = (4,5 × 5)/3 = 22,5/3 = 7,5 cm
Dans un triangle ABC, M ∈ [AB] et N ∈ [AC]
(MN) // (BC)
AM = 3 cm, AB = 5 cm, AN = 4,5 cm
Calculer AC.
Solution :
D'après le théorème de Thalès :
AM/AB = AN/AC
3/5 = 4,5/AC
AC = (4,5 × 5)/3 = 22,5/3 = 7,5 cm
4. Réciproque du théorème de Thalès
Réciproque :
Si AM/AB = AN/AC et si les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre,
alors (MN) // (BC)
Si AM/AB = AN/AC et si les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre,
alors (MN) // (BC)
Méthode pour prouver le parallélisme :
- Calculer séparément AM/AB et AN/AC
- Vérifier si les rapports sont égaux
- Vérifier l'alignement des points
- Conclure sur le parallélisme
5. Contraposée (non-parallélisme)
Si AM/AB ≠ AN/AC, alors (MN) n'est pas parallèle à (BC)
Chapitre 5 : Théorème de Pythagore
1. Énoncé du théorème
Théorème de Pythagore :
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Si ABC est rectangle en A, alors : BC² = AB² + AC²
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Si ABC est rectangle en A, alors : BC² = AB² + AC²
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.
C'est toujours le plus grand côté du triangle rectangle !
C'est toujours le plus grand côté du triangle rectangle !
2. Applications
A. Calculer une longueur
Exemple 1 : Calculer l'hypoténuse
Triangle ABC rectangle en A avec AB = 3 cm et AC = 4 cm
BC² = AB² + AC²
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16 = 25
BC = √25 = 5 cm
Triangle ABC rectangle en A avec AB = 3 cm et AC = 4 cm
BC² = AB² + AC²
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16 = 25
BC = √25 = 5 cm
Exemple 2 : Calculer un côté de l'angle droit
Triangle DEF rectangle en D avec EF = 13 cm et DE = 5 cm
EF² = DE² + DF²
13² = 5² + DF²
169 = 25 + DF²
DF² = 169 - 25 = 144
DF = √144 = 12 cm
Triangle DEF rectangle en D avec EF = 13 cm et DE = 5 cm
EF² = DE² + DF²
13² = 5² + DF²
169 = 25 + DF²
DF² = 169 - 25 = 144
DF = √144 = 12 cm
3. Réciproque du théorème de Pythagore
Réciproque :
Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés,
alors ce triangle est rectangle.
Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés,
alors ce triangle est rectangle.
Exemple : Le triangle de côtés 6, 8 et 10 est-il rectangle ?
Plus grand côté : 10
10² = 100
6² + 8² = 36 + 64 = 100
10² = 6² + 8², donc le triangle est rectangle.
Plus grand côté : 10
10² = 100
6² + 8² = 36 + 64 = 100
10² = 6² + 8², donc le triangle est rectangle.
4. Contraposée
Si BC² ≠ AB² + AC², alors le triangle ABC n'est pas rectangle en A.
5. Triplets pythagoriciens
Ce sont des triplets d'entiers (a, b, c) vérifiant a² + b² = c²
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
Chapitre 6 : Trigonométrie dans le triangle rectangle
1. Définitions
Dans un triangle rectangle, on définit trois rapports trigonométriques pour un angle aigu :
Pour un angle aigu α :
cos(α) =
sin(α) =
tan(α) =
=
cos(α) =
côté adjacent
hypoténuse
sin(α) =
côté opposé
hypoténuse
tan(α) =
côté opposé
côté adjacent
sin(α)
cos(α)
Moyen mnémotechnique : SOH CAH TOA
• Sinus = Opposé / Hypoténuse
• Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
• Tangente = Opposé / Adjacent
• Sinus = Opposé / Hypoténuse
• Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
• Tangente = Opposé / Adjacent
2. Valeurs remarquables
| Angle | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| cos | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
| sin | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
| tan | √3/3 | 1 | √3 |
3. Relations fondamentales
Relation de Pythagore :
cos²(α) + sin²(α) = 1
Angles complémentaires (α + β = 90°) :
sin(α) = cos(β)
cos(α) = sin(β)
cos²(α) + sin²(α) = 1
Angles complémentaires (α + β = 90°) :
sin(α) = cos(β)
cos(α) = sin(β)
4. Applications
A. Calculer une longueur
Problème : Triangle ABC rectangle en A, angle B = 35°, BC = 8 cm
Calculer AB.
Solution :
cos(35°) = AB/BC
AB = BC × cos(35°)
AB = 8 × cos(35°)
AB ≈ 8 × 0,819 ≈ 6,55 cm
Calculer AB.
Solution :
cos(35°) = AB/BC
AB = BC × cos(35°)
AB = 8 × cos(35°)
AB ≈ 8 × 0,819 ≈ 6,55 cm
B. Calculer un angle
Problème : Triangle DEF rectangle en D, DE = 4 cm, EF = 7 cm
Calculer l'angle E.
Solution :
sin(E) = DF/EF
Il faut d'abord calculer DF avec Pythagore :
DF² = EF² - DE² = 49 - 16 = 33
DF = √33 ≈ 5,74 cm
sin(E) = 5,74/7 ≈ 0,82
E = arcsin(0,82) ≈ 55°
Calculer l'angle E.
Solution :
sin(E) = DF/EF
Il faut d'abord calculer DF avec Pythagore :
DF² = EF² - DE² = 49 - 16 = 33
DF = √33 ≈ 5,74 cm
sin(E) = 5,74/7 ≈ 0,82
E = arcsin(0,82) ≈ 55°
Chapitre 7 : Transformations du plan
1. Translation
Une translation est définie par un vecteur.
Elle fait glisser tous les points du plan dans la même direction, le même sens et de la même distance.
Elle fait glisser tous les points du plan dans la même direction, le même sens et de la même distance.
Propriétés conservées par une translation :
- Les longueurs
- Les angles
- Le parallélisme
- Les aires
2. Rotation
Une rotation est définie par :
• Un centre O
• Un angle α
• Un sens (horaire ou antihoraire)
• Un centre O
• Un angle α
• Un sens (horaire ou antihoraire)
Rotation de centre O et d'angle 90° :
• Chaque point tourne de 90° autour de O
• La distance au centre est conservée
• Un carré est transformé en un carré
• Chaque point tourne de 90° autour de O
• La distance au centre est conservée
• Un carré est transformé en un carré
3. Symétrie axiale
La symétrie axiale par rapport à une droite (d) transforme tout point M en M' tel que :
• (d) est la médiatrice du segment [MM']
• (d) est la médiatrice du segment [MM']
La symétrie axiale inverse l'orientation des figures !
(Un triangle orienté dans le sens horaire devient antihoraire)
(Un triangle orienté dans le sens horaire devient antihoraire)
4. Symétrie centrale
La symétrie centrale de centre O transforme M en M' tel que :
O est le milieu de [MM']
O est le milieu de [MM']
Propriété importante :
Une symétrie centrale est équivalente à une rotation de 180°
Une symétrie centrale est équivalente à une rotation de 180°
5. Homothétie
Une homothétie de centre O et de rapport k (k ≠ 0) transforme M en M' tel que :
• O, M et M' sont alignés
• OM' = |k| × OM
• Si k > 0 : M et M' sont du même côté de O
• Si k < 0 : M et M' sont de part et d'autre de O
• O, M et M' sont alignés
• OM' = |k| × OM
• Si k > 0 : M et M' sont du même côté de O
• Si k < 0 : M et M' sont de part et d'autre de O
Effets de l'homothétie :
• Si |k| > 1 : agrandissement
• Si |k| < 1 : réduction
• Si k = -1 : symétrie centrale
• Les longueurs sont multipliées par |k|
• Les aires sont multipliées par k²
• Si |k| > 1 : agrandissement
• Si |k| < 1 : réduction
• Si k = -1 : symétrie centrale
• Les longueurs sont multipliées par |k|
• Les aires sont multipliées par k²
Chapitre 8 : Statistiques
1. Indicateurs de position
A. Moyenne
Moyenne simple :
x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n
Moyenne pondérée :
x̄ = (n₁x₁ + n₂x₂ + ... + nₚxₚ) / (n₁ + n₂ + ... + nₚ)
x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n
Moyenne pondérée :
x̄ = (n₁x₁ + n₂x₂ + ... + nₚxₚ) / (n₁ + n₂ + ... + nₚ)
Exemple : Notes d'un élève
Notes : 12, 15, 11, 16, 14
Moyenne = (12 + 15 + 11 + 16 + 14) / 5 = 68 / 5 = 13,6
Notes : 12, 15, 11, 16, 14
Moyenne = (12 + 15 + 11 + 16 + 14) / 5 = 68 / 5 = 13,6
B. Médiane
La médiane est la valeur qui partage la série ordonnée en deux parties de même effectif.
• Si n est impair : médiane = valeur centrale
• Si n est pair : médiane = moyenne des deux valeurs centrales
• Si n est impair : médiane = valeur centrale
• Si n est pair : médiane = moyenne des deux valeurs centrales
Exemple 1 (n impair) : 3, 5, 7, 9, 12
Médiane = 7 (3ème valeur sur 5)
Exemple 2 (n pair) : 2, 5, 8, 11, 15, 18
Médiane = (8 + 11) / 2 = 9,5
Médiane = 7 (3ème valeur sur 5)
Exemple 2 (n pair) : 2, 5, 8, 11, 15, 18
Médiane = (8 + 11) / 2 = 9,5
2. Indicateurs de dispersion
A. Étendue
Étendue = Valeur maximale - Valeur minimale
B. Quartiles
• Q₁ (1er quartile) : 25% des valeurs sont inférieures à Q₁
• Q₂ (2ème quartile) : c'est la médiane
• Q₃ (3ème quartile) : 75% des valeurs sont inférieures à Q₃
Écart interquartile : Q₃ - Q₁
• Q₂ (2ème quartile) : c'est la médiane
• Q₃ (3ème quartile) : 75% des valeurs sont inférieures à Q₃
Écart interquartile : Q₃ - Q₁
3. Représentations graphiques
Types de graphiques :
- Diagramme en bâtons : pour les valeurs discrètes
- Histogramme : pour les classes
- Diagramme circulaire : pour les pourcentages
- Diagramme en boîte : pour visualiser médiane et quartiles
4. Fréquences
Fréquence : f = effectif / effectif total
Fréquence en % : f × 100
Fréquence cumulée : somme des fréquences jusqu'à cette valeur
Fréquence en % : f × 100
Fréquence cumulée : somme des fréquences jusqu'à cette valeur
Chapitre 9 : Probabilités
1. Vocabulaire
• Expérience aléatoire : expérience dont on ne peut prévoir le résultat
• Issue : résultat possible de l'expérience
• Univers : ensemble de toutes les issues possibles
• Événement : ensemble d'issues
• Issue : résultat possible de l'expérience
• Univers : ensemble de toutes les issues possibles
• Événement : ensemble d'issues
Lancer d'un dé :
• Univers : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Événement A "obtenir un nombre pair" : A = {2, 4, 6}
• Événement B "obtenir au moins 5" : B = {5, 6}
• Univers : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Événement A "obtenir un nombre pair" : A = {2, 4, 6}
• Événement B "obtenir au moins 5" : B = {5, 6}
2. Calcul de probabilités
Dans le cas d'équiprobabilité :
P(A) =
=
P(A) =
nombre d'issues favorables
nombre total d'issues
card(A)
card(Ω)
• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(événement certain) = 1
• P(événement impossible) = 0
• P(Ω) = 1
• P(événement certain) = 1
• P(événement impossible) = 0
• P(Ω) = 1
3. Événements particuliers
• Événement contraire : Ā (se lit "A barre")
P(Ā) = 1 - P(A)
• Union (ou) : A ∪ B
• Intersection (et) : A ∩ B
• Événements incompatibles : A ∩ B = ∅
Alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(Ā) = 1 - P(A)
• Union (ou) : A ∪ B
• Intersection (et) : A ∩ B
• Événements incompatibles : A ∩ B = ∅
Alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
4. Expériences à deux épreuves
Outils de représentation :
- Tableau à double entrée
- Arbre de probabilités
Exemple : Lancer de deux pièces
Issues possibles : {PP, PF, FP, FF}
P(obtenir exactement une fois pile) = P({PF, FP}) = 2/4 = 1/2
Issues possibles : {PP, PF, FP, FF}
P(obtenir exactement une fois pile) = P({PF, FP}) = 2/4 = 1/2
5. Fréquence et probabilité
Loi des grands nombres :
Quand on répète une expérience un très grand nombre de fois,
la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité.
Quand on répète une expérience un très grand nombre de fois,
la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité.
Chapitre 10 : Arithmétique
1. Divisibilité
a est divisible par b si le reste de la division euclidienne de a par b est 0.
On note : b | a (b divise a)
On note : b | a (b divise a)
Critères de divisibilité
| Divisible par | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | Le chiffre des unités est pair | 234 est divisible par 2 |
| 3 | La somme des chiffres est divisible par 3 | 123 : 1+2+3=6, divisible par 3 |
| 5 | Le chiffre des unités est 0 ou 5 | 235 est divisible par 5 |
| 9 | La somme des chiffres est divisible par 9 | 351 : 3+5+1=9, divisible par 9 |
| 10 | Le chiffre des unités est 0 | 450 est divisible par 10 |
2. Nombres premiers
Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Premiers nombres premiers :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47...
Attention : 1 n'est pas premier (il n'a qu'un diviseur)
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47...
Attention : 1 n'est pas premier (il n'a qu'un diviseur)
3. Décomposition en facteurs premiers
Tout entier supérieur à 1 se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers.
Décomposer 360 :
360 = 2 × 180
360 = 2 × 2 × 90
360 = 2 × 2 × 2 × 45
360 = 2 × 2 × 2 × 9 × 5
360 = 2³ × 3² × 5
360 = 2 × 180
360 = 2 × 2 × 90
360 = 2 × 2 × 2 × 45
360 = 2 × 2 × 2 × 9 × 5
360 = 2³ × 3² × 5
4. PGCD et PPCM
A. PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)
Méthode 1 : Liste des diviseurs
Méthode 2 : Algorithme d'Euclide
Méthode 3 : Décomposition en facteurs premiers
Méthode 2 : Algorithme d'Euclide
Méthode 3 : Décomposition en facteurs premiers
PGCD(48, 18) par l'algorithme d'Euclide :
48 = 18 × 2 + 12
18 = 12 × 1 + 6
12 = 6 × 2 + 0
PGCD(48, 18) = 6
48 = 18 × 2 + 12
18 = 12 × 1 + 6
12 = 6 × 2 + 0
PGCD(48, 18) = 6
B. PPCM (Plus Petit Commun Multiple)
PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b
5. Fractions irréductibles
Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux
(leur PGCD est 1).
(leur PGCD est 1).
Pour simplifier une fraction :
Diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
Diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
Chapitre 11 : Volumes et sections
1. Rappels des formules de volumes
| Solide | Formule du volume | Remarques |
|---|---|---|
| Cube | V = a³ | a : arête |
| Pavé droit | V = L × l × h | L : longueur, l : largeur, h : hauteur |
| Cylindre | V = πr²h | r : rayon, h : hauteur |
| Cône | V = (1/3)πr²h | r : rayon de base, h : hauteur |
| Pyramide | V = (1/3) × B × h | B : aire de la base, h : hauteur |
| Sphère | V = (4/3)πr³ | r : rayon |
| Boule | V = (4/3)πr³ | Même formule que la sphère |
Pour les cônes et pyramides, le volume est toujours égal à 1/3 du volume du cylindre ou prisme de même base et même hauteur !
2. Sections de solides
A. Section d'un pavé droit
La section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle de mêmes dimensions que cette face.
B. Section d'un cylindre
• Section par un plan parallèle à la base : cercle de même rayon
• Section par un plan perpendiculaire à la base : rectangle
• Section par un plan oblique : ellipse
• Section par un plan perpendiculaire à la base : rectangle
• Section par un plan oblique : ellipse
C. Section d'une pyramide ou d'un cône
Théorème :
La section d'une pyramide (ou d'un cône) par un plan parallèle à la base est une réduction de la base.
Si k = SM'/SM (rapport de réduction), alors :
• Les longueurs sont multipliées par k
• Les aires sont multipliées par k²
• Les volumes sont multipliés par k³
La section d'une pyramide (ou d'un cône) par un plan parallèle à la base est une réduction de la base.
Si k = SM'/SM (rapport de réduction), alors :
• Les longueurs sont multipliées par k
• Les aires sont multipliées par k²
• Les volumes sont multipliés par k³
Exemple : Cône de hauteur 12 cm et rayon de base 5 cm
Section à 4 cm du sommet (k = 4/12 = 1/3)
• Rayon de la section : 5 × 1/3 = 5/3 cm
• Aire de la section : π × 5² × (1/3)² = 25π/9 cm²
Section à 4 cm du sommet (k = 4/12 = 1/3)
• Rayon de la section : 5 × 1/3 = 5/3 cm
• Aire de la section : π × 5² × (1/3)² = 25π/9 cm²
3. Agrandissement et réduction
Effet d'un agrandissement/réduction de rapport k :
• Longueurs multipliées par k
• Aires multipliées par k²
• Volumes multipliés par k³
• Longueurs multipliées par k
• Aires multipliées par k²
• Volumes multipliés par k³
Exemple : Un cube d'arête 3 cm est agrandi avec un rapport 2
• Nouvelle arête : 3 × 2 = 6 cm
• Volume initial : 3³ = 27 cm³
• Nouveau volume : 27 × 2³ = 27 × 8 = 216 cm³
• Nouvelle arête : 3 × 2 = 6 cm
• Volume initial : 3³ = 27 cm³
• Nouveau volume : 27 × 2³ = 27 × 8 = 216 cm³
4. Sphère et boule
• Aire de la sphère : A = 4πr²
• Volume de la boule : V = (4/3)πr³
• Volume de la boule : V = (4/3)πr³
Astuce pour retenir :
• L'aire c'est 4 fois l'aire d'un grand cercle (πr²)
• Le volume c'est 4/3 fois le volume du "cube" de rayon r
• L'aire c'est 4 fois l'aire d'un grand cercle (πr²)
• Le volume c'est 4/3 fois le volume du "cube" de rayon r
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